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Orthogonalität von Geraden und Ebenen

Schüler

Tags: eben, Gerade, orthogonalität

anonymous

18:11 Uhr, 18.08.2015

Guten Abend. :-)

Also wir haben über die Ferien folgende Aufgabe von unserem Mathelehrer bekommen:

Man soll Beispielaufgaben dazu finden, dass

1. Gerade

g

und Gerade

h

orthogonal zueinander stehen.

2. Gerade

g

und Ebene

E

orthogonal zueinander stehen.

3. Ebene

E 1

und Ebene

E 2

orthogonal zueinander stehen.

Also für rechte Winkel ist das Skalarprodukt von Vektor

a \cdot

Vektor

b = 0

bzw.

a 1 \cdot b 1 + a 2 \cdot b 2 + a 3 \cdot b 3 = 0

Aber ich verstehe nun nicht, welche beiden Vektoren man bei diesen 3 Aufgaben verwenden soll. Bei 1. würde ich das mit den Geraden noch hinbekommen, da man denke ich mal einfach die Richtungsvektoren nimmt. Aber wie sieht es bei 2. und 3. aus? Unser Lehrer meinte noch, dass man den Normalenvektor eventuell verwenden kann. Die Schwierigkeit liegt auch noch darin, dass man selbst Aufgaben erfinden soll, bei denen diese Orthogonalität vorliegt. Wie mache ich das am besten?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

abakus

18:30 Uhr, 18.08.2015

In der Aufgabe finde ich keinen Hinweis daraus, dass du IRGENDETWAS (auch keine Vektoren) berechnen sollst.
Nimm dir eine Ziegelstein oder eine Streichholzschachtel oder schau in die Zimmerecke - du findest genug Beispiele für diese drei Aufgabentypen.

anonymous

18:32 Uhr, 18.08.2015

hallo gast62, ja, die aufgabe hat er halt selbst gestellt. aber wie meinst du das mit "keinen hinweisen"? soweit ich das verstanden habe, soll man für alle drei aufgabentypen 1 beispiel finden. als übung sozusagen. LG Jen

abakus

18:37 Uhr, 18.08.2015

So schnell wie du geantwortet hast, hast du über meine Antwort kaum nachgedacht.

anonymous

18:38 Uhr, 18.08.2015

ja, ich verstehe nicht, was du damit meinst, sry.

Roman-22

19:00 Uhr, 18.08.2015

@Gast62: Wenn wir schon Rabulistik betreiben: Es sollen laut Fragestellerin nicht Beispiele für Orthogonalität sondern Beispielaufgaben dazu gefunden werden und wohl auch angegeben werden.

@Jen500: Bei

1)

hast du schon Recht mit den Richtungsvektoren. Allerdings befinden wir uns mit diesen Aufgaben ja vermutlich auch bei

1)

ℝ^{3}

und da gibt es für zwei Geraden die Möglichkeit, dass sie einander orthogonal schneiden, aber auch die Möglichkeit, dass sie sich orthogonal kreuzen. Im letzten Fall liegen die Geraden windschief und haben keinen gemeinsamen Punkt, aber der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren ist 90°.
Ich weiß nun nicht, wie ihr "orthogonal zueinander stehen" üblicherweise interpretiert habt. Wenns einen Schnittpunkt geben soll, dann reichen die Richtungsvektoren alleine jedenfalls nicht aus.

R

BTW, sollen wirklich Aufgaben gefunden werden oder sollst du bloß zB die Gleichung einer Geraden und die einer Ebene angeben, die zueinander orthogonal liegen? ;-)

anonymous

19:08 Uhr, 18.08.2015

hallo roman, genauso ist es. :-) bei orthogonalität von ebene und gerade und von ebene und ebene..welche vektoren müssen mit dem skalarprodukt dann gleich 0 gesetzt werden? und zu deiner frage: also er hat ein

T

auf dem kopf gezeichnet sozusagen. also man soll einfach einen schnittpunkt berechnen. LG

Roman-22

19:12 Uhr, 18.08.2015

>

hallo roman, genauso ist es. :-) bei orthogonalität von ebene und gerade und von ebene und ebene..welche vektoren müssen mit dem skalarprodukt dann gleich 0 gesetzt werden?

In einer Ebene gibts zwar eine Unmenge verschiedener Richtungsvektoren, aber (bis auf skalare Vielfache) nur einen Normalvektor. Das wär doch mal ein Ansatzpunkt, oder?

Und um einfachste Beispiele zu finden, macht es durchaus Sinn, an die Ziegelsteine und Zimmerecken von Gast62 zu denken ;-)

R

anonymous

19:18 Uhr, 18.08.2015

okay, und wie ist es mit gerade und ebene dann? da ist mir noch kein richtiger ansatzpunkt eingefallen..LG Jenny

Roman-22

19:19 Uhr, 18.08.2015

Hmmm

-

in welcher Beziehung werden Normalvektor der Ebene und Richtungsvektor der Geraden wohl stehen müssen, damit wir Orthogonalität haben? Was meinst du?

R

anonymous

19:21 Uhr, 18.08.2015

also der normalvektor der ebene wird doch mit den kreuzprodukten der richtungsvektoren gebildet. da eine ebene aber 2 spannvektoren hat, verwirrt mich das. LG...zu deiner letzten antwort: ja, die müssen dann wohl orthogonal stehen. also das skalarprodukt=0.

ledum aktiv_icon

19:22 Uhr, 18.08.2015

Hallo
zu einer Geraden gibt es unendlich viele Orthogonalen, die alle in einer Ebene liegen. jeder Vektor, den du auf den Fussboden malst ist senkrecht zu einer Zimmerecken-gerade.
ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht ist zu allen Vektoren der ebene senkrecht, aber 2 lin. unabhängige reichen, um ihn zu bestimmen.
Das mit 2 Ebenen überleg dir mal mit Wand und Fussboden deines Zimmers.
Gruss ledum

anonymous

19:26 Uhr, 18.08.2015

zu 2: rv der gerade und nv der ebene

= 0

zu 3: nv der ebene 1 und nv der ebene

2 = 0

stimmts?

Roman-22

19:27 Uhr, 18.08.2015

>

also der normalvektor der ebene wird doch mit den kreuzprodukten der richtungsvektoren gebildet. da eine ebene aber 2 spannvektoren hat, verwirrt mich das.

Also erstens hat eine Ebene unendlich viel Spannvektoren (=Richtungsvektoren), aber zwei linear unabhängige davon reichen, um, zusammen mit einem Stützvektor die Ebene festzulegen.
Und warum irritierst es dich, dass du 2 Spannvektoren von einer Ebene kennst? Ist doch gut, denn wie wolltest du sonst das Kreuzprodukt bilden um einen Normalvektor zu erhalten?

>

zu deiner letzten antwort: ja, die müssen dann wohl orthogonal stehen.
Das solltest du nochmal überdenken!

R

EDIT: Wenn du mit deiner Ausdrucksweise

>

nv der ebene 1 und nv der ebene

2 = 0

meinst, dass das Skalarprodukt der beiden Ebenennormalvektoren Null sein muss, dann hast du bei

3)

Recht (solltest es aber dann auch sprachlich formal richtig hinschreiben).

2)

ist wie vorhin schon angemerkt falsch.

anonymous

19:29 Uhr, 18.08.2015

also stimmt meine lösung nicht? siehe zu 2 und zu 3.

Roman-22

19:32 Uhr, 18.08.2015

>

also stimmt meine lösung nicht? siehe zu 2 und zu 3.
Siehe meine editierte vorherige Antwort!

anonymous

19:32 Uhr, 18.08.2015

okay, sry, ich kürze manchmal ab..NV=Normalenvektor und RV=Richtungsvektor. aber was meintest du vorher mit "das solltest du nochmal überdenken"? ich dachte, dass das stimmt...LG

Roman-22

19:36 Uhr, 18.08.2015

>

okay, sry, ich kürze manchmal ab..NV=Normalenvektor
Naja, vor allem hattest du nichts von Skalarprodukt geschrieben.

Ja, deine Überlegung zu

2)

ist falsch.
Stell dir doch eine Ebene und eine dazu normale Gerade vor. Gast62 und ledum haben dir da konkrete Anregungen geliefert.
Und jetzt überlege, die der Richtungsverktor der geraden verläuft und wie der Normalvektor der Ebene. Wie liegen diese beiden Vektoren zueinander?

Muss jetzt weg

R

anonymous

19:51 Uhr, 18.08.2015

also wenn bei

2)

rv*nv=0 nicht stimmt, dann weiß ich grad nicht weiter..oh nein, nicht weggehen! :-)

Roman-22

20:50 Uhr, 18.08.2015

Ich wiederhol es gerne nochmals:
"Stell dir doch eine Ebene und eine dazu normale Gerade vor. Gast62 und ledum haben dir da konkrete Anregungen geliefert. Und jetzt überlege, wie der Richtungsverktor der Geraden verläuft und wie der Normalvektor der Ebene. Wie liegen diese beiden Vektoren zueinander?"

Ich habe das Gefühl, dass du darauf konditioniert bist, sobald du "orthogonal" hörst sofort "Skalarprodukt der Vektoren ist Null" zu rufen. Und das, ohne weiter darüber nachzudenken oder dir eine Vorstellung zu machen, worum es eigentlich geht. Das hat bei

3)

ja zufälligerweise noch funktioniert aber ich fürchte, dass du dir da auch nicht überlegt hast, warum auch die Normalvektoren orthogonaler Ebenen miteinander einen rechten Winkel bilden oder dass ein Normalvektor der einen Ebene gleichzeitig auch ein Spannvektor der anderen Ebene ist.

Also verschaff dir bitte vorstellungsmäßig einen Überblick. So schwer kann es dir ja nicht fallen, dir eine Ebene und eine dazu normale Gerade vorzustellen und dann noch die zugehörigen Normal- bzw. Richtungsvektoren.
Meine oben gestellte Frage solltest du schon selbst beantworten können.

R

anonymous

22:50 Uhr, 18.08.2015

hallo robert,
also mir bereitet es hauptsächlich probleme, diese beispielaufgaben zu finden.

z . b

. suche ich gerade 2 ebenen in parameterdarstellung, deren normalenvektoren 0 ergeben sollen. ich finde es einfach schwer, so etwas zu finden. und zu 2. der RV der gerade ist orthogonal zu den spannvektoren der ebene. aber welchen spannvektor nimmt man dann?
LG

Roman-22

23:27 Uhr, 18.08.2015

2)

ist nun klar? Fein!

> z . b

. suche ich gerade 2 ebenen in parameterdarstellung,
und es muss unbedingt Parameterdarstellung sein?

>

ich finde es einfach schwer, so etwas zu finden.
Ich denke an Gast62 und biete dir als Ebenen den Fußboden und eine Seitenwand deines Zimmers an. Der Fußboden ist die xy-Ebene, die Wand zB die yz-Ebene.
Wie sehen beliebige Spannvektoren in der xy-Ebene aus? Wie sieht ein Normalvektor zum Fußboden aus, welche Koordinatenkomponenten könnte er haben?

R

Femat aktiv_icon

09:32 Uhr, 19.08.2015

In den Ferien kann man sich Ebenen auch als Zeltdach vorstellen. Geraden als gespannte Schnüre. Am Strand kann man alles in den Sand zeichnen.

anonymous

14:42 Uhr, 19.08.2015

also ich bin soweit durch und habe die paramterdarstellungen zum teil in die koordinatenform umgeschrieben. also bei der 2 braucht man definitiv nicht den normalenvektor der ebene, sondern jeweils die beiden richtungsvektoren, stimmts? LG

Roman-22

23:15 Uhr, 19.08.2015

>

also bei der 2 braucht man definitiv nicht den normalenvektor der ebene,
Falsch

>

sondern jeweils die beiden richtungsvektoren
Wenn du damit leichter zum Ziel kommst, warum nicht.
Mit dem Normalvektor der Ebene gehts meiner Meinung nach wesentlich einfacher.

Schade, dass du dich vehement weigerst, dir eine anschauliche Vorstellung zu verschaffen.

R

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