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Parameteraufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, integrieren

sara-92 aktiv_icon

00:36 Uhr, 17.09.2010

Die Fläche unter

f (x) = x^{2}

über

[0; 2]

soll durch die senkrechte Gerade

x = a

im Verhältnis

1 : 7

geteilt werden. Wie muss a gewählt werden?

bisheriger Rechenweg:

f (x) = x^{2}

\int_{0}^{2} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} \cdot x^{3}]}_{0}^{2} = \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) = \frac{8}{3}

nun weiß ich nicht so genau weiter...

\int_{0}^{a} x^{2} d x = {[\frac{1}{3} \cdot x^{3}]}_{0}^{a} = \frac{1}{3} \cdot a^{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) = \frac{1}{3} \cdot a^{3}

wie gehts jetzt weiter? stimmt der Ansatz?
Bitte um Hilfe, Gruß Sara

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

02:11 Uhr, 17.09.2010

Die Fläche unter f(x)=x^2 über [0;2] soll durch die senkrechte Gerade x=a im Verhältnis 1:7 geteilt werden

\int_{0}^{a} f (x) d x = 7 \cdot \int_{a}^{2} f (x) d x

\int_{0}^{a} x^{2} d x = 7 \cdot \int_{a}^{2} x^{2} d x

[⅓ x^{3}]_{0}^{a} = 7 \cdot [⅓ x^{3}]_{a}^{2}

⅓ a^{3} = 7 \cdot [⅓ 2^{3} - ⅓ a^{3}]

a^{3} = 7 \cdot [2^{3} - a^{3}]

a^{3} = 7 \cdot 8 - 7 a^{3}

8 a^{3} = 7 \cdot 8

a^{3} = 7

a =^{3} \sqrt{7}

BjBot aktiv_icon

08:56 Uhr, 17.09.2010

@ sara-92

Dein Ansatz ist prima.
Du musst jetzt nur noch die beiden berechneten Flächenmaße zueinander ins Verhältnis setzen.
Entweder direkt so:

\frac{A_{l i n k s}}{A_{g e s a m t}} = \frac{1}{8} \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{\frac{1}{3} a^{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{1}{8}

Oder so :

\frac{A_{l i n k s}}{A_{r e c h t s}} = \frac{1}{7} \overset{}{\Leftrightarrow} \frac{\frac{1}{3} a^{3}}{\frac{8}{3} - \frac{1}{3} a^{3}} = \frac{1}{7}

sara-92 aktiv_icon

20:56 Uhr, 17.09.2010

Wie kommst du beim zweiten Integral auf das Intervall

[a; 2]

? und warum wird dieses Integral mit 7 multipliziert?

\frac{\frac{1}{3} \cdot a^{3}}{\frac{8}{3}}

hab ich verstanden, aber warum ist das Ergebnis

\frac{1}{8}

?
wenn ich dann nach a auflöse kommt für

a = 0,481

raus...?

BjBot aktiv_icon

21:00 Uhr, 17.09.2010

Mit wem redest du ?
Was pleindespoir gemacht hat ist falsch.
Ich habe dir zwei Varianten genannt, übrigens kommt glatt

a = 1

raus.

sara-92 aktiv_icon

21:15 Uhr, 17.09.2010

@BjBot

oh okay...

ja ich hab verstanden, dass ich die Flächenmaße zueinander ins Verhältnis setzen muss, allerdings versteh ich nicht, warum das Ergebnis

\frac{1}{8}

sein soll?
Danach muss ich einfach nur nach a auflösen?

Ich hab meinen Fehler gefunden, a ist

1!

:-)

BjBot aktiv_icon

21:21 Uhr, 17.09.2010

Ich hab dir wie gesagt ja auch die Variante mit

\frac{1}{7}

hingeschrieben.
Man kann es halt auch direkt mit

\frac{1}{8}

machen, denn wenn die linke Fläche EINEN Teil der Gesamtfläche ausmacht und die rechte Fläche SIEBEN Teile bzgl der Gesamtfläche ausmachen, dann besteht die Gesamtfläche also aus 8 Teilen.
Kommt bei beiden Varianten dasselbe raus.

sara-92 aktiv_icon

21:28 Uhr, 17.09.2010

Okay, Frage beantwortet!

Vielen Dank :-)

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