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Parametrisierung bei Oberflächenintegralen
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Fläche, Integration, Mehrfachintegral, Oberflächenintegral, parametrisierung
 
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Hallo Forum :-) Meine Frage zielt auf das genauere Verständnis von Parametrisierungen im Zuge der Oberflächenberechnung mittels Integration ab. Zwar ist mir die Vorgehensweise durchaus bewusst, jedoch weiß ich nicht so recht, was ich da eigentliche mache, wenn ich eine Fläche wie folgt parametrisiere: . Was genau ist der Nutzen der Parametrisierung und wie kann ich mir das bildlich vorstellen? Überführe ich da etwas aus dem ins ? Und wenn ja, warum? Ich würde mich über eine verständliche Erklärung sehr freuen, da ich das was ich da anwende selbstverständlich auch verstehen möchte. Schon einmal vielen Dank im Vorraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren |
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Hallo, ist schon bereits ein dreidimensionale Darstellung. Hier wird in einen funktionalen Zusammenhang über mit und gebracht. Die parametrisierte Darstellungsform, also die Überführung in ein vektorielle Schreibweise ist dasselbe nur in einer vektoriellen Schreibweise. Der Vorteil liegt in der Vektorrechnung selbst. Hier ein Beispiel von Wikipedia. ist die implizite Darstellung des Einheitskreises. In Paramterform wäre es In der impliziten Darstellung lässt es sich sehr leicht bestimmen, ob ein gegebener Punkt zum Einheitskreis gehört, in dem man die und y-Werte einfach einsetzt. In der Parameterform kann man mit einen Punkt bestimmen, der auf dem Einheitskreis liegt, was in der impliziten Darstellungsform nicht so ohne weiteres Möglich ist. LG Jan |
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Danke für die schnelle Antwort, Jan. Allerdings bin ich eher an dem tatsächlichen Verständnis der Überführung in die Parameterform interessiert. Schaut man sich die Darstellung der Parametrisierung bei folgendem Link www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/oberflaechenintegral2.pdf an, legt diese nahe, dass die Parameterdarstellung elementar für die Berechnung von Oberflächen ist. Dies scheint auch mit den Parameterlinien und den zugehörigen Tangentenvektoren zusammen zu hängen. Was genau haben jetzt die Parameterlinien und die Tangentialebenen mit der Oberflächenberechnung zu tun? Wäre echt super, wenn sich jemand den Link anschauen würde, und mir etwas Licht ins Dunkle bringen könnte:-) LG Jakob |
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Niemand ne Idee?? Oo |
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Hallo, eine Parametrisierung ist einfach eine andere Form der Beschreibeung einer Teilmenge des ( hier: einer bel. 3.dim. Fläche ). Eine Kurve die von zwei Parametern ( zwei Variablen ) abhängt beschreibt eine 3.dim. Fläche. Da die Kurve von zwei Parametern abhängt ist der Definitionsbereich ein bel. Rechteck in der u,v - Ebene und der Wertebereich der Kurve ist die Fläche , das siehst du ja in der ersten Grafik im Skript. Für die Fläche gilt also: Man kann sich das also so vorstellen, das die Kurve aus den Rechreck ( Definitionsbereich ) eben die Fläche formt und das nennt man dann Parametrisierung der Fläche oder die Parameterdarstellung der Fläche. Die Parameterlinien haben so mit der Oberflächenberechnung nichts zutun, sie dienen nur der Veranschaulichung, wie schon im Skript erwähnt, erhält man sie wenn man einen der Parameter konstant hält. Man kann ja so ein Gitternetz was auf der Fläche liegt erzeugen. Durch das Gitternetz ist ja die Fläche in Teilflächen unterteilt, wenn man die Teilflächen bestimmen könnte dann hätte man ja die gesuchte Oberfläche. Da die Teilflächen zwar schon wie Rechtecke aussehen aber in der Regel irgendwie gebogen sind, kann deren Flächeinhalt auch nicht einfach so bestimmt werden. Und an diesen Punkt kommen die Tangentenvektoren ins Spiel, diese kann man wegen der Parameterform jetzt bestimmen ( die Kurve einfach partiell ableiten ) Die Tangentialvektoren spannen eine Ebene auf, die Tangentialebene, diese gibt ja die Steigung der Kurve ( Fläche ) in einen bestimmten Punkt wieder. Man könnte jetzt für jeden Schnittpunkt im Gitternetz mit den Tangentenvektoren die jeweilige Tangentialebene bestimmen ( die Tangentialebene muss ja auch beschränkt werden damit sie die Teilfläche darstellen kann, siehe Skript ). Mit diesen Tangentialebnen kann man so die Fläche schon relativ gut beschreiben und was noch wichtiger ist, man kann den Flächeninhalt der Tangentialebenen leicht berechnen, mit dem Kreuzprodukt der Tangentenvektoren. Wenn man jetzt alle Flächeninhalte addiert, dann erhält man einen ersten Näherungswert für die gesamte Oberfläche von und jetzt fängt einfach die Integration an. |
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Echt ne super Antwort, Alx123! :-) Das r⃗(u,v)ein Rechteck in der Ebene ist, und somit die Parametrisierung nur die Beschreibung einer Teilmenge ist, ist mir so aus dem Script nicht klar geworden. Vielen,vielen Dank für deine Hilfe, hat mir wirklich enorm geholfen. Lg Jakob |
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