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Polynom Grad 4 Berührpunkt ??

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Polynomdivision

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22:43 Uhr, 16.06.2013

Hallo,
wie löse ich ein Polynom mit folgender Gleichung:

x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 4

Ich habe folgendes gemacht.

1. Nullstelle erraten

(2)

dann Polymondivision durchgeführt mit

(x - 2)

2. Neue Gleichung

= x^{3} - 2 x^{2} - x + 2

(also die um einen Grad reduzierte Form)

- \to

Erneut Nullstelle gesucht

(1)

also Polynomdivision aufs neue mit

(x - 1)

3.Neue Gleichung (reduzierte von

2 .) = x^{2} - x - 2

4. Pg-Formel

- \to

zu meinen Nullstellen aus Punkt 1. und 2.

x = 2 & x = 1

kommen nun noch die Nullstellen

x = 2

und

x = - 1

hinzu.

Also ich denke ich habe alles richtig gemacht nun ist meine Frage was sagt es denn aus, dass ich eine Doppelte Nullstelle bei

x = 2

habe bzw. habe ich eine Doppelte?

Also laut meinen Infos aus dem Netz habe ich dort einen Berührpunkt. Also somit einen Berührpunkt des Graphen mit der X-Achse.

Aber wenn das so stimmt, was sagt ein Berührpunkt denn so aus (im Bezug auf Steckbriefaufgaben und Kurvendiskussion)
Ich würde sagen, dass ich dort erstmal eine Waagerechte Tangente habe also f´(x)=0
sonst noch irgendwas bzw. liege ich mit meinen ganzen Annahmen überhaupt richtig ??

Ich habe zuvor noch nicht wirklich was von einem Berührpunkt gehört. Habe ich dort immer eine Doppelte Nullstelle und wie habe ich mir das vorzustellen der Graph berührt die Achse doch nur wie kann er dort dopplet null werden??

Danke im Vorraus

!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

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Underfaker aktiv_icon

22:48 Uhr, 16.06.2013

Wenn ich das richtig sehe, liegst du mit allem richtig.
Eine zweifache Nullstelle, llässt auf einen lokalen Extremwert schließen, eine dreifache gar auf einen Wendepunkt.

robocop aktiv_icon

22:53 Uhr, 16.06.2013

Ok, danke

sagt sie sonst noch irgendwas über den Graph aus ??

Also bekomme ich durch die Angabe das ich einen Berührpunkt bei irgendwelchen Koordinaten habe noch eine weitere Bedingung, die mir beim aufstellen einer Gradengleichung hilft also sowas wie f´(x)

= 0

Underfaker aktiv_icon

23:22 Uhr, 16.06.2013

f (x_{0}) = 0

und

f' (x_{0}) = 0

beim Berührpunkt

(x_{0} | f (x_{0})),

genau.

Vorausgesetzt natürlich, es ist die x-Achse die berührt werden soll.

Bummerang

09:41 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

hier noch ein kleiner Tip, bei schriftlichen Prüfungen ist der Faktor Zeit generell ein Problem. Deshalb gebe ich Dir hier mal ein paar Tips, wie man das Ganze effektiver gestalten kann.

Du hast als erste Nullstelle die 2 erraten, ich hätte da zunächst zwei andere Nullstellen erraten:

Summe aller Koeffizienten ist Null:

1 - 4 + 3 + 4 - 4 = 0 \Rightarrow x_{1} = 1

ist eine Nullstelle

Summe der "geraden" und der "ungeraden" Koeffizienten ist gleich (nicht notwendig gleich Null):

1 + 3 - 4 = 0 = - 4 + 4 \Rightarrow x_{2} = - 1

ist eine Nullstelle

Polynomdivision gleich mit

(x - 1) \cdot (x - (- 1) = (x - 1) \cdot (x + 1) = x^{2} - 1

Der Divisor ist nicht aufwändiger, als bei

(x - 2)

oder

(x - 1),

man spart aber eine ganze Polynomdivision!

Ergebnis der Polynomdivision:

x^{2} - 4 \cdot x + 4

Das geübte Auge erkennt sofort die binomische Formel für

{(x - 2)}^{2}

robocop aktiv_icon

13:25 Uhr, 17.06.2013

Sehr gut,

Danke hilft mir sehr, da ich immer Zeitprobleme in den Klausuren habe

!!!

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