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Polynomdivision mit zwei Unbekannten

Schüler

Tags: Algebra, Polynomdivision

WeirdPupil aktiv_icon

01:22 Uhr, 28.06.2013

Hallo miteinander,
ich habe ein Problem mit einer Gleichung dritten Grades die zwei unbekannte aufweist. Ich habe die erste Nullstelle bereits erraten, hänge aber nun bei der Polynomdivision fest. Ich habe die Aufgabe einfachheitshalber vorbereitet und hier in den Grafikanhang gepackt.

Genauer gesagt komme ich in der vierten Zeile nicht weiter bei der ich -2rh mit

- r

multipliziere. Ich muss dann ja

2 r^{2} -

2hr^2 rechnen, was ja gar nicht möglich ist?

Ich wäre um jede Hilfestellung dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

02:47 Uhr, 28.06.2013

Wie kommst du auf die Idee so eine Polynomdivision durchführen zu wollen ?

Stell doch mal die ganze Aufgabe rein.

Bummerang

07:49 Uhr, 28.06.2013

Hallo,

h = r

ist keine Nullstelle des hier angegebenen Terms! Setze doch mal ein, dann ergibt sich:

r^{3} - 3 \cdot r \cdot r^{2} + 2 \cdot r^{2} = - 2 \cdot r^{3} + 2 \cdot r^{2}

Und das ergibt nur dann Null, wenn

r \in {0,1}

. Hier liegt der fehler bereits in vorherigen Berechnungen bzw. ist

r

als Nullstelle falsch geraten!

WeirdPupil aktiv_icon

12:58 Uhr, 28.06.2013

Ersteinmal dankeschön für die raschen Antworten. Aus Zeitgründen (und NICHT aus Faulheit!) lade ich nun einfach die komplette Aufgabe (eingescannt) hoch.

\to

Siehe Anhang

Ich habe leider vor Montag nicht mehr die Möglichkeit online zu gehen und bitte darum um Verständnis wenn ich erst Montag morgen wieder darauf zurückkommen werde!

Vielen Dank nochmal für eure Hilfe

Bummerang

13:37 Uhr, 28.06.2013

Hallo,

a)

V_{Z y l} = π \cdot r^{2} \cdot h

V_{K e g} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

V_{r e s t} = π \cdot r^{2} \cdot h - \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

b) h = r, d . h

. wir können in der Formel aus

a)

das

h

durch

r

ersetzen:

V_{r e s t} = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot r = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}

Ganz Ausgebuffte sagen jetzt: "Moment, die Formel für das Kugelvolumen ist doch

\frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3}

und demzufolge ist das Volumen des Restkörpers doch glatt gleich dem Volumen einer Halbkugel. Oder mit anderen Worten: Die Höhe

h

des Kugelabschnitts ist gleich

r,

also

h = r

.

Für Puristen aber die Fortsetzung durch stures Rechnen:

Formel für den Kugelabschnitt (auch Kugelsegment oder Kugelgalotte) siehe de.wikipedia.org/wiki/Kugelabschnitt mit

h

nunmehr als die gesuchte Höhe des Kugelabschnitts

V_{K S} = \frac{π \cdot h^{2}}{3} \cdot (3 \cdot r - h)

Gesucht ist das

h,

für das gilt:

\frac{π \cdot h^{2}}{3} \cdot (3 \cdot r - h) = \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}

h^{2} \cdot (3 \cdot r - h) = 2 \cdot r^{3}

3 \cdot h^{2} \cdot r - h^{3} = 2 \cdot r^{3}

0 = h^{3} - 3 \cdot h^{2} \cdot r + 2 \cdot r^{3}

Das sieht schon mal fast wie Dein Term aus, aber eben nur fast, denn jetzt steht da

r^{3}

und nicht

r^{2}!!!

Und dann ist

h = r

eine Lösung. Kann es weitere reelle Lösungen geben? Mal nachdenken! Wenn man mit

h = 0

beginnt, dann ist das Volumen des Kugelabschnitts gleich Null. Je größer das

h

wird, desto größer wird auch das Volumen, bis es bei

h = 2 \cdot r

die ganze Kugel einschließt. Und

h > 2 \cdot r

ist Unsinn, denn dann bleibt es beim gesamten Kugelvolumen. Also kann es aus rein logischen Gesichtspunkten keine weiteren Lösungen mehr geben und mit dieser Argumentation ist man eigentlich bereits fertig.

Aber für Freaks (also die Steigerung von Puristen) kann man das natürlich auch mathematisch beweisen. Dazu führt man

z . B

. eine Polynomdivision durch:

(h^{3} - 3 \cdot h^{2} \cdot r + 2 \cdot r^{3}) : (h - r) = h^{2} - 2 \cdot h \cdot r - 2 \cdot r^{2}

(h^{3} - h^{2} \cdot r) -

- - - - - - -

(- 2 \cdot h^{2} \cdot r + 2 \cdot r^{3})

(- 2 \cdot h^{2} \cdot r + 2 \cdot h \cdot r^{2}) -

- - - - - - - - - - -

(- 2 \cdot h \cdot r^{2} + 2 \cdot r^{3})

(- 2 \cdot h \cdot r^{2} + 2 \cdot r^{3}) -

- - - - - - - - - -

0

Weitere Nullstellen durch die Lösung

h^{2} - 2 \cdot h \cdot r - 2 \cdot r^{2} = 0

h_{1,2} = r \pm \sqrt{r^{2} + 2 \cdot r^{2}} = r \pm \sqrt{3 \cdot r^{2}} = r \pm r \cdot \sqrt{3} = r \cdot (1 \pm \sqrt{3})

\sqrt{3} > 1

ist, führt

1 - \sqrt{3}

zu einem negativen Faktor und damit zu einer negativen Höhe, das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung

h \in [0; 2 \cdot r]

.

Und da

\sqrt{3} > 1

ist, führt

1 + \sqrt{3}

zu einem Faktor, der größer als 2 ist, und damit zu einer Höhe größer als

2 \cdot r,

das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung

h \in [0; 2 \cdot r]

.

Wie wir uns das schon vorher gedacht haben, es kann keine weiteren Lösungen geben...

WeirdPupil aktiv_icon

22:51 Uhr, 04.07.2013

Vielen vielen Dank für die bis in's kleinste Detail genaue Lösung! Die Aufgabe erklärt sich mir nun.

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