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Polynomdivision mit zwei Variablen

Schüler Gymnasium,

Tags: Polynomdivision

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16:12 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

ich schreibe morgen eine Matheklausur und hab noch eine Frage zu einer Aufgabe..

(x³+3ax²-4a³)

: (x - 2 a)

ich bin mittlerweile bei
(x³+3ax²-4a³)

: (x - 2 a) =

x²+5ax+10a²
-(x³-2ax)

\to

5ax²-4a³
-(5ax²-10a²x)

- \to

10a²x-4a
-(10a²x-20a³)
doch nun komm ich nicht mehr weiter..

vielleicht kann mir ja jemand helfen? :-)
vielen dank schon einmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

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Bummerang

16:20 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

von zwei vergessenen Exponenten abgesehen ist doch alles richtig! Wieso kannst Du bis zu diesem Punkt korrekt rechnen und glaubst dann Du schaffst es nicht mehr

- 4 \cdot a^{3} - (- 20 \cdot a^{3})

zu rechnen?

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16:28 Uhr, 02.05.2013

welche 2 exponenten hab ich vergessen?
ich weiß nicht, ich denke, ich steh auf dem Schlauch..

Bummerang

16:30 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

- (x^{3} - 2 a x)

müßte heißen

- (x^{3} - 2 a x^{2})

Der Exponent ist nur beim Abschreiben vergessen worden, denn sonst wäre das Ergebnis der Subtraktion mit 5ax^2 nicht korrekt!

- \to 10 a^{2} x - 4 a

müßte heißen

- \to 10 a^{2} x - 4 a^{3}

denn die

- 4 a^{3}

kommen aus dem ursprünglichen Polynom!

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16:32 Uhr, 02.05.2013

Vielen Dank,
den Fehler mit den Exponenten hab ich auch gerade gefunden, aber dann hab ich 16a³ übrig und weiß nicht mehr weiter, da da ja kein

x

mehr vorkommt?

Bummerang

16:34 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

denke doch mal an Deine Grundschulzeit zurück. Was ergab denn da, als Du nur natürliche Zahlen kanntest, die Division von 3 durch 2? Richtig: Das war 1 Rest 1. Was also sind die

16 a^{3}

? Der Rest der Division!

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16:35 Uhr, 02.05.2013

Es geht also nicht mehr weiter?
Wir haben letzte Stunde erst mit dem Thema begonnen und erst eine Aufgabe dazu gemacht und deshalb dachte ich, diese Division müsste aufgehen..
Aber Vielen Dank!:-)

Bummerang

16:39 Uhr, 02.05.2013

Hallo,

die Division muss genau dann aufgehen, wenn für alle

a \in ℝ

der Wert

2 \cdot a

eine Nullstelle des Polynoms ist (liegt an dem

(x - 2 \cdot a)

als Divisor). Für

z . B

a = 1

müsste

2 \cdot 1 = 2

eine Nullstelle sein von

x^{3} + 3 \cdot 1 \cdot x^{2} - 4 \cdot 1^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 4

. Du rechnest leicht durch Einsetzen nach, dass die 2 keine Nullstelle ist. Also muss es einen von a abhängigen Rest geben! Nur für

a = 0

ist der Rest Null und wie Du leicht siehst ist dann

2 \cdot 0 = 0

und Null ist auch eine Nullstelle von

x^{3} + 3 \cdot 0 \cdot x^{2} - 4 \cdot 0^{3} = x^{3}

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16:44 Uhr, 02.05.2013

Ich kann zwar nicht ganz folgen, aber trotzdem vielen Dank!

prodomo aktiv_icon

13:08 Uhr, 04.05.2013

Der Wert

x = 2 \cdot a

ist keine Nullstelle des Polynoms im Dividenden, nämlich

f (x) x^{3} + 3 \cdot a \cdot x^{2} - 4 \cdot a^{3}

. Einsetzen von

x = 2 \cdot a

gibt

f (2 \cdot a) = 8 \cdot a^{3} + 3 \cdot a \cdot 4 \cdot a^{2} - 4 \cdot a^{3} = 8 \cdot a^{3} + 12 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{3}

. Das gibt keine 0. Aber mir ist der Verdacht gekommen, dass die Nullstelle eigentlich

x = - 2 \cdot a

sein sollte, die gibt nämlich tatsächlich

- 8 \cdot a^{3} + 12 \cdot a^{3} - 4 \cdot a^{3} = 0

. Dann hast du vielleicht übersehen, dass du hier durch

[x - (- 2 \cdot a)] = (x + 2 \cdot a)

dividieren musstest, das wäre aufgegangen. Normalerweise gibt ein Lehrer nach einer Stunde keine Aufgabe, in der die Division nicht aufgeht.

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