 |
 |
 |
 |
 |
 |
Polynomdivision: wie finde ich schnell den richtigen Faktor?
Sonstiges
Tags: Faktorermittlung, Polynomdivision
 
|
  |
|---|
|
Hallo zusammen!
Ich scheitere immer wieder gern und verläßlich an der Frage, wodurch ich bei einer Polynomdivision eigentlich teilen soll (Großthema: Nullstellen ganzrat. Funk.)
Beispielaufgabe aus dem Lehrbuch (LS NRW 11): x³-6x²+11x-6 wird zu (x-2)(x²-4x+3) Woran sehe ich (schnell und zuverlässig), dass ich durch x-2 teilen muss und nicht beispielsweise durch (hätte ich viel sympathischer gefunden...) x-6 oder wenigstens x-3?
Danke schonmal und Gruß
Andreas
|
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Polynomdivision Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Grenzwerte im Unendlichen Nullstellen Polynomdivision Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen |
|
 |
|
(x-2) heisst ja das bei x=+2 eine Nullstelle ist die du vorher erst mal, zB durch ausprobieren, finden musst...dazu hab ich es meist so gemacht das ich erst mal die Wertetabelle mit den xwerten von -5 bis +5 eingesetzt habe, und die Ergebnisse in ein koordinatensystem eingezeichnet, sodass ich eine ungefähre vorstelluing vom verlauf der funktion hatte...dadurch findet man dann oft schon eine nullstelle oder sieht zumindest in welchem Bereich sie durch 0 gehen muss. Eine etwas einfachere Methode ist in einem Beitrag von -nicole- "Nullstellen richtig?" beschrieben... |
 |
|
Hallo Rudi und danke für die schnelle Antwort!
Die Sache mit der Nullstelle ist klar, ich bin auf der Suche nach einer einfachen Faustformel für die Suche nach dem Teiler eines Polynoms. (iIm Sinne von Quersumme durch drei = Zahl durch drei).
Möglicherweise enthält Deine Antwort im Beitrag von Nicole sowas, das hab ich beim ersten Lesen nicht ganz geschnallt.
Ich finde halt die Wertetabellennummer - so mach ichs dann auch - immer so`n bißchen gewurschtelt. Und das widerspricht deutlich meinen typisch männlichen Ordnungssinn;-))
(Alle, die meinen Schreibtisch kennen, fallen gerade vor Lachen tot um...)
Gruß
Andreas |
|
|
|
hehe, ja, ich kann dich gut verstehen... du suchst praktisch eine pq formel für x³... Also da ist mir leider auch keine bekannt...ich glaube aber für 3 soll es eine sehr komplizierte geben, aber für höhere exponenten dann nicht mehr, bin mir da aber nicht ganz sicher... Was bei nicole klar werden sollte: Bei ganzzahligen Werten von a,b,c,d in ax³+bx²+cx+d=0 muss die Lösung ein Teiler von d sein, also wenn zB d=8 ist, dann kann die Lösung nur 1,2,4 oder 8 sein! Entweder kannst dir dazu das lange gewurschtel von mir mal ganz reinziehen, aber die lehrerin hat es etwas klarer gezeigt: (x-x1)*(x^2+px+q) x1 und q sind hier ja die einzigen Werte die kein x enthalten, also muss d durch eine multiplikation von x1 und q entstehen, also: x1*q=d daraus folgt das d durch x1 (1.Nullstelle) teilbar sein muss! also fängst du beim "ausprobieren" am besten mit Teilern von d an ;-) hoffe das hilft... |
 |
|
jepp, das sollte helfen...
Wäre mal zu überlegen, ob das auch bei nichtganzzahligen abcd funktioniert. Warum eigentlich nicht? Ich geh mal in den thinktank (das ist neudeutsch und heisst, glaube ich, Denk - Panzer. Naja vergisses...;-)) Danke!! |
|
|
|
geht schon, nur erlaubt es dir keine konkrete aussage die irgendwelche ergebnisse eliminiert: hab ich zB x1=5, x2=4, x3=0,1 dann ist x1*x2*x3=d=2 Teiler von 2 ist aber keine Lösung von der Funktion... ich hab dir mal noch folgendes rauskopiert, nennt sich koeffizientenvergleich und ist recht nett: wenn du (x-n1)*(x-n2)*(x-n3) =0 ausmultiplizierst kommt folgendes heraus: (x²-n2(x)-n1(x)+(n1*n2))(x-n3)=0 1. Klammer mal 2. Klammer, zusammenfassen: (x²-(n1+n2)x+(n1*n2))*(x-n3) =0 das widerrum ausmultipliziert ergibt: 1.glied mal klammer 2. mal Klammer 3. mal Klammer x³-n3*x² -(n1+n2)x²-(n1*n2)x*n3 +(n1*n2)x-(n1*n2)*n3 =0 zusammengefasst also: x³-(n1+n2+n3)*x²-(n3)x-(n1*n2*n3)=0 jetzt solltest du sehen das das x-freie glied, das ja in deiner ausgangsgleichung d genannt wird, hier -(n1*n2*n3) ist! d=-n1*n2*n3, also eine muliplikation der nullstellen, also muss d auch durch die gerade nullstelle teilbar sein! das ganze geht sogar noch weiter, man kann hier einen sogenannten koeffizientenvergleich machen, sieht folgendermassen aus, setz die ausgangsgleichung und die ermittelte gleich: ax^3+bx^2+cx+d=x³-(n1+n2+n3)*x²-(n3)x-(n1*n2*n3)=0 und vergleiche die koeffizienten die vor den jeweiligen x^n gleidern stehen, also: ax^3=1x³ _x³ kürzt sich weg, daraus folgt: a=1 bx^2=-(n1+n2+n3)*x² _x² kürzt sich weg, daraus folgt: b=-(n1+n2+n3) cx =-(n3)x _x kürzt sich weg, daraus folgt: c=-n3 d =-(n1*n2*n3) |
|
|
|
Hallo, es gibt einfache Faustformeln, um solche Nullstellen zu schnell zu finden. Die am häufigsten anwendbaren sind: 1. Summe der Koeffizienten ist Null Deine Koeffizienten sind 1, -6, 11 und -6. Die Summe ist Null. Dann ist immer "1" eine Nullstelle. Ich hätte in Deiner Aufgabe also zunächst durch (x-1) dividiert. 2. Die "alternierende Summe" der Koeffizienten ist Null Die "alternierende Summe" bildet man, indem man die Koeffizienten vor den geradzahligen Potenzen addiert, die Koeffizienten vor den ungeradzahligen Potenzen dagegen abzieht. z.B. x^3 + 6*x^2 + 11*x + 6 Man rechnet dann (-1) + 6 - 11 + 6 = 0 Dann ist immer "-1" eine Nullstelle 3. Es gibt sich wiederholende Koeffizientenmuster! z.B. 1, -3, -2, 6 Die letzten Koeffizienten sind das (-2)-fache der ersten. Dann ergibt sich folgendes: x^3 - 3*x^2 - 2*x + 6 = x^2*(x - 3) - 2*(x - 3) = (x^2 - 2)*(x - 3) Das funktioniert auch bei größeren Gleichungen: x^6 - 3*x^5 + 3*x^3 - 9*x^2 - 2*x + 6 Koeffizienten: 1, -3, 0, 3, -9, -2, 6 ; die "0" kann man vollkommen ignorieren!!! = x^5*(x - 3) + 3*x^2*(x - 3) - 2*(x - 3) = (x^5 + 3*x^2 - 2)*(x - 3) 4. Die Koeffizienten bilden eine umgekehrte Potenzfolge z.B. x^3 + 3*x^2 + 9*x + 27 Dann ist die der Potenzreihe zugrundeliegende Zahl eine Nullstelle, und zwar mit positivem Vorzeichen, wenn die Vorzeichen alternieren, d.h. immer vor ungeraden Potenzen entweder ein Plus oder Minus steht und vor geraden Potenzen immer das andere Vorzeichen, und mit negativem Vorzeichen, wenn alle Vorzeichen gleich sind. In obigem Beispiel ist also "-3" Nullstelle. Das Ganze funktioniert auch noch dann, wenn die gleiche Anzahl von geraden und ungeraden Potenzen in der Reihe fehlen: x^4 + 9*x^3 + 81*x + 243 Hier fehlt eine gerade (x^2) und eine ungerade (x^5) Potenz, trotzdem ist "-3" Nullstelle. Daraus kann man auch noch Abwandlungen machen, die man dann aber erkennen muß: x^3 + 6*x^2 + 18*x + 27 Hier wurde eine zu 4. passende Form (1, 3, 9, 27) durch Multiplikation von 2 bei einer ungeraden Potenz und bei einer geraden Potenz modifiziert. Da das "paarweise" erfolgte, ist aber immer noch "-3" eine Nullstelle. Schwierig ist auch das: x^3 - 3*x^2 + 9*x - 27 ; hier ist "3" eine Nullstelle (alternierende Vorzeichen). x^3 + 3*x^2 - 9*x - 27 ; hier auch, weil die alternierenden Vorzeichen paarweise ausgetauscht wurden! Welchen Trick man anwenden kann, hängt von 2 Faktoren ab: 1. Welche Tricks kenne ich? 2. Wie sicher erkenne ich den Trick? Für beides gilt: Je mehr man solche Aufgaben selber (!!!) übt, desto mehr Tricks wird man erkennen und sogar selber finden und um so sicherer wird man mit den Tricks. Also, was ist der einfachste Weg, schnell einen Teiler zu finden: Üben, üben und nochmals üben! |
|
|
|
Zitat: Welchen Trick man anwenden kann, hängt von 2 Faktoren ab: 1. Welche Tricks kenne ich? 2. Wie sicher erkenne ich den Trick? Für beides gilt: Je mehr man solche Aufgaben selber (!!!) übt, desto mehr Tricks wird man erkennen und sogar selber finden und um so sicherer wird man mit den Tricks. Also, was ist der einfachste Weg, schnell einen Teiler zu finden: Üben, üben und nochmals üben! Hallo und danke für die Antwort!
Höre ich da etwa einen Ansatz von Kritik?
Ich hänge hier familienbedingt im Selbststudium und da schmort man schon mal im eigenen Saft und ist dankbar für jeden Anstoß!
Aber die "Tricks" 1 und 2 werde ich mal auf meine persönliche Beherrschbarkeit prüfen - nachvollziehbar sind sie ja, der Rest kommt mal in Ruhe dran...
Vielen Dank für die Hinweise!!
Andreas
|
