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Potenzen von Wurzel 2

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Potenz, Reihen

Kuboudy aktiv_icon

22:57 Uhr, 28.10.2010

Hi, also ich die folgende Aufgabe vor mir (siehe Bild). Mein Problem besteht wirklich darin, den Ansatz zu finden, wie ich alles zusammenfassen kann. Hier besteht ja das Problem der Klammern, wodurch manche Potenzgesetze ja ihre Wirkung verlieren. Kann mir vielleicht jemand einen Anstoß geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

OmegaPirat

23:01 Uhr, 28.10.2010

Ich würds mal mit vollständiger Induktion versuchen.
Damit sollte es sehr gut machbar sein.

Kuboudy aktiv_icon

23:24 Uhr, 28.10.2010

Aber ich komme dann beim Induktionsschritt nich weiter... es is klar, dass es für

n = 1

gilt. Und dann setze ich für

n = n + 1

ein und müsste ja durch irgendwelche umformungen darauf kommen, dass das immer kleiner gleich 2 is.... aber ich komm da einfach nicht drauf

; (

teppich aktiv_icon

23:38 Uhr, 28.10.2010

Genau diese Frage wurde war jüngst unter www.onlinemathe.de/forum/Potenzen-541 schon einmal im Forum. Ich bin mal so faul, auf meine alte Antwort zu verweisen.

Kuboudy aktiv_icon

23:52 Uhr, 28.10.2010

Ok, trotz der doch seltsamen Formulierungen in der anderen Aufgabe denke ich, dass ich einen Ansatz habe: wie du schon sagst, gilt die formel also für

x_{n}

(wir nehmen es an). Die Formel für

x_{n} + 1 = α^{x}_n

. da

x_{n}

nun kleiner als 2 ist und

α

als Wurzel 2 definiert ist, ist es fast schon trivial, dass wurzel 2 hoch etwas kleineres als 2 auch kleiner als 2 ist (im prinzip wäre ja hoch 2 die obere grenze). Reicht das aus? Mit Monotonie hatten wir noch nix, also gehe ich davon aus, dass wir das auch nich anwenden brauchen.

teppich aktiv_icon

00:08 Uhr, 29.10.2010

Ja, mit dem ersten Satz vor der Aufgabe, Schulwissen anzuwenden, der bei der anderen Frage abhanden gekommen ist, sollte dies als Argumentation vollkommen genügen, wenn du die Induktion sauber ausarbeitest (Voraussetzung, Annahme, etc.)

Für den Fall, dass dies nicht ausreichen sein sollte noch ein paar Worte zur "Monotonie":
Es soll gezeigt werden, dass

{\sqrt{2}}^{x} \leq {\sqrt{2}}^{2}

gilt, wenn

x \leq 2

ist. Hierzu logarithmieren wir beide Seiten, so dass

\ln ({\sqrt{2}}^{x}) \leq \ln ({\sqrt{2}}^{2})

in unserer Rechung steht. Das ist erlaubt, da der Logarithmus monoton steigend ist, also der Logarithmus größer wird, wenn man größere Werte einsetzt.
Nun bleibt noch die Logarithemgesetze anzuwenden (Exponenten vor den

\ln

ziehen) und dann durch

\ln (\sqrt{2})

zu teilen. Das

\leq

bleibt dabei erhalten, denn

\ln (\sqrt{2})

ist positiv.

Kuboudy aktiv_icon

00:19 Uhr, 29.10.2010

ach jetz glaub ich erst zu verstehen, wie du auf die ungleichung kommst: du quadrierst beide seiten und zerlegst die rechte seite (die

4) \in 2

mal

2!

? das

x

der linken seite steht dann quasi für die ganzen potenzanhängsel oder? somit hast du einen direkten vergleich für beide seiten

teppich aktiv_icon

01:28 Uhr, 29.10.2010

Genau richtig (nur verstehe ich nicht, was du mit Zerlegung einer 4 meinst)

Zum besseren Verständis fasse ich hier nocheinmal zusammen:
Wir nehmen an, für ein beliebiges

n

gilt

x_{n} \leq 2

und zeigen, dass dann auch

x_{n + 1} = {\sqrt{2}}^{x_{n}} \leq 2

ist:

Nun schreiben wir die

2

als

{\sqrt{2}}^{2}

, logarithmieren und formen ein wenig um:

x_{n + 1} \leq 2 \overset{}{\Leftrightarrow} {\sqrt{2}}^{x_{n}} \leq 2 \overset{}{\Leftrightarrow} {\sqrt{2}}^{x_{n}} \leq {\sqrt{2}}^{2} \overset{}{\Leftrightarrow} \ln ({\sqrt{2}}^{x_{n}}) \leq \ln ({\sqrt{2}}^{2}) \overset{}{\Leftrightarrow} x_{n} • \ln (\sqrt{2}) \leq 2 • \ln (\sqrt{2}) \overset{}{\Leftrightarrow} x_{n} \leq 2

Damit folgt aus der Gültigkeit von

x_{n} \leq 2

direkt die Gültigkeit von

x_{n + 1} \leq 2

und wir sind fertig.

Kuboudy aktiv_icon

12:30 Uhr, 29.10.2010

Zwei bescheidene Fragen:

wie kommst du auf: Nun schreiben wir die 2 als

22

? Bzw. was genau steht zwischen den beiden 2en?
Die zweite: wie kommst du darauf, dass

x_{n} + 1 = 2 x_{n}

sein soll?

teppich aktiv_icon

12:43 Uhr, 29.10.2010

Nun verstehe ich, wo das Problem liegt. Bei dir werden die Formeln nicht korrekt dargestellt. Dort, wo bei dir eine "22" erscheint steht bei mir "Wurzel(2)hoch(2)". Im Hilfe-Bereich des Forums stehen ein paar Hinweise, woran es liegen könnte.

Kuboudy aktiv_icon

13:04 Uhr, 29.10.2010

vielen dank dann is natürlich alles klar!

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