Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Potenzen zwischen 1 und b

Potenzen zwischen 1 und b

Universität / Fachhochschule

Tags: Trigonometrie, Zahlentheorie

Sukomaki aktiv_icon

12:17 Uhr, 13.07.2025

Hallo,

nur kurz. Ich möchte gerne wissen, ob folgender Sachverhalt schon mal jemandem begegnet ist :

Also ich definiere mir eine Teilerfunktion

t_{n} (x)

, die

1

wenn

n ∣ x

und

0

sonst
an ganzzahligen Stellen und trigonometrisch interpoliert zwischen den ganzen Zahlen.

Sie lautet :

t_{n} (x) = \frac{1}{n} \cdot \sum_{j = 0}^{n - 1} \cos (\frac{2 π j x}{n})

.

Die Anzahl der Zweier-Potenzen zwischen

1

und

b

beträgt

⌊ \log_{2} (b) ⌋ + 1

.

Wenn der größte Faktor von

b

größer als

2

ist, kann

b

nicht als

2^{î}

dargestellt werden.

Damit gilt :

\sum_{k = 1}^{b} \prod_{p > 2} (1 - t_{p} (k)) = ⌊ \log_{2} (b) ⌋ + 1

mit

p

prim.

Allgemein gilt : Die Anzahl der Potenz-Produkte aus den Basen

2, 3, 5, 7, 11, \dots q

zwischen

1

und

b

ist dann

\sum_{k = 1}^{b} \prod_{p > q} (1 - t_{p} (k))

mit

p

prim.

D.h. : sobald es ein

p ∣ k

mit

p > q

gibt, wird das Produkt Null.

Beispiel mit

q = 3

:

1, 1

(2^{0} \cdot 3^{0})

2, 2

(2^{1} \cdot 3^{0})

3, 3

(2^{0} \cdot 3^{1})

4, 4

(2^{2} \cdot 3^{0})

5, 4 -
6, 5

(2^{1} \cdot 3^{1})

7, 5 -
8, 6

(2^{3} \cdot 3^{0})

9, 7

(2^{0} \cdot 3^{2})

10, 7 -
11, 7 -
12, 8

(2^{2} \cdot 3^{1})

13, 8 -

Ich denke, das ist ein netter Zusammenhang zwischen Cosinus und Logarithmus.

So wie eine hübsche Summenformel.

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens

1591373

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?