Potenzieren von Summen und Differenzen

Hallo Zusammen

Ich bin mich für die Aufnahmeprüfung zur HFH am vorbereiten. Aus dem Vorbereitungsbuch "Einführung in die Grundelemente der Mathematik" stammen folgende beide Aufgaben, die mich grad ziemlich überfordern:

Kapitel 9.1.4 Aufgabe 130 b

Zerlegen Sie :

$$\begin{gathered} {\displaystyle {8\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-1={\left(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^3*1^3 \\ =(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)*({4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1^2)} \end{gathered}$$

Kapitel 9.1.4 Aufgabe 130 c

Zerlegen Sie :

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-{27\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-{\left(3\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}^3 \\ =(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-3\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+3\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{9\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)} \end{gathered}$$

Den ersten Schritt der Aufgaben ist mir jeweils klar, aber wie nachher das Endergebnis zu Stande kommen ist mir absolut schleierhaft. Die erste Klammer (2x-1), resp (a-3b) ist mir noch einigermassen ersichtlich, aber der ganze rest absolut nicht. Das kann man ja nicht nach Binomen rechnen oder?

Das Kapitel wird aus den binomischen Formeln eingeleitet, und weist noch folgende Grafik auf:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3-{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)}$

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)}$

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4-{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})*({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2)}$

Ich kann die Formel von der rechten Seite von = ohne Probleme rechnen, aber mir ist schleierhaft wie ich dies von links nach rechts rechne.

Oder ist das so ein "Merksatz" wie die Binomischen ansich?

Vielleicht ist sich auch grad jemand auf diese Prüfung mit dem Buch am vorbereiten, oder hat diese Prüfung bereits abgelegt und kann mir helfen.

HELP und vielen Dank,

liebe Grüsse, Reto

Hi Diophant

Danke für deine Infos, aber ich blick einfach bei diese Zerlegung nicht durch....

Dass ich von ${\displaystyle {(2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^3-1^3}$ einmal ${\displaystyle (2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-1}$ rausnehme,

dann bleiben noch ${\displaystyle {(2\cdot \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}^2-1^2}$, und das bringe ich nicht auseinander. Mit dem weis ich nicht was anfangen... wie kann ich mir das errechnen? muss ich da einfach die obigen beispiele der zerlegung anwenden und micht nicht nach dem rechenweg fragen?

Wie kommen diese 2 x in der Mitte zustande (bei der Lösung)?

Ich glaub ich hab einfach n riesen Knopf in der Leitung...

stell mich wohl bissl blöd an...