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Prädikatenlogik - Umformen

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Tags: Atom, atomar, Formel, logik, Logikaufgabe, Prädikatenlogik, Term

 
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anonymous

anonymous

01:09 Uhr, 21.01.2018

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Guten Tag,

ich lerne derzeit für eine Klausur und habe die ein oder andere Frage. Leider habe ich keinen, an den ich mich direkt wenden kann und das Skript erleuchtet mich auch nicht ganz, deswegen versuche ich es hier.
Bei meiner Suche habe ich einiges finden können, trotzdem ist doch noch etwas offen geblieben und ich hoffe, dass ihr mir weiter helfen könnt.

Habe versucht die Aufgaben zu lösen, bin teils jedoch hängen geblieben und komme nicht weiter. Kann mir bitte wer sagen wo meine Fehler liegen, bzw. wie es weiter geht?

Aufgabe 1:

Gegebene Formel ¬(∀x (R(x) ⇒ P(x)) ⇒ (∀y N(x,y) ⇒ ∃x M(x,y)))
a) Variablenbindung kennzeichnen.
b) Variablenbenennung ändern, dass keine Variable bei mehreren Quantoren vorkommt. und Formel umformen, damit nur noch Junktoren vorkommen und ¬ nur unmittelbar vor Atomen steht.

zu a) das erste ∀x bindet R(x) und P(x). ∀y bindet die beiden y und das ∃x bindet das x bei M(x,y). Das x bei N(x,y) ist ungebunden.

b)
¬(∀x (R(x) ⇒ P(x)) ⇒ (∀y N(w,y) ⇒ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(∀x (¬R(x) ∨ P(x)) ⇒ (¬ ∀y N(w,y) ∨ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(∀x (¬R(x) ∨ P(x)) ⇒ (∃y ¬N(w,y) ∨ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(¬ ∀x (¬R(x) ∨ P(x)) ∨ (∃y ¬N(w,y) ∨ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(∃x ¬(¬R(x) ∨ P(x)) ∨ (∃y ¬N(w,y) ∨ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(∃x (R(x) ∧ P(x)) ∨ (∃y ¬N(w,y) ∨ ∃z M(z,y)))
⇔ ¬(∃x (R(x) ∧ P(x))) ∧ ¬(∃y ¬N(w,y) ∨ ∃z M(z,y))
⇔ ∀x ¬(R(x) ∧ P(x)) ∧ (∀y ¬N(w,y) ∧ ∀z ¬M(z,y))
⇔ ...?


Aufgabe 2:

Für jedes x∈A gilt auch, dass x∈B ist und es gibt ein x aus B, ∉A.
a) Formel in Prädikatenlogik -> ∀x A(x) ⇒ (B(x) ∧ (∃x B(x) ⇒ ¬A(x))
b) Umformen und Quantoren nach vorne holen.
⇔ ∀x A(x) ⇒ (B(x) ∧ (∃x B(x) ⇒ ¬A(x))
⇔ ∀x A(x) ⇒ (B(x) ∧ (¬ ∃x B(x) ∨ ¬A(x))
⇔ ∀x A(x) ⇒ (B(x) ∧ (∀x (¬B(x) ∨ ¬A(x))))
⇔ ∀x A(x) ⇒ (∀x (B(x) ∧ (¬B(x) ∨ ¬A(x))))
⇔ ¬ ∀x A(x) ∨ ∀x ((B(x) ∧ ¬B(x)) ∨ (B(x) ∧ ¬A(x))))
⇔ ...?

Aufgabe 3: (Habe ich richtige Antworten gegeben?)

Was sind Formeln?

a) P(a,P(b,c))
- ist gültig, da P jeweils zwei Argumente hat
b) ∃x (Q(x) ∧ Q(x))
- ist auch gültig, da Q(x) ∧ Q(x) auch einfach nur als Q(x) schreibbar ist?
c) ∀x P(f(a,x,f(c,x)),a)
- ungültig, da f eine unterschiedliche Anzahl an Argumenten erhält
d) P(a,Q(b,c))
- gültig
e) P(f(a,f(b,c)))
- gültig, da f jeweils zwei Argumente besitzt und f sich selbst als Argument bekommen darf.


Ich hoffe, dass ich hier richtig bin und ihr mir weiterhelfen könnt.
PS. Kann ich hier Spoiler machen? Habe auf die Schnelle keine Befehle dazu gefunden.

Danke schonmal fürs Lesen.

Gruß,
Dominik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Hierzu passend bei OnlineMathe:
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