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Produktregel / Limes

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: lim, Produktregel

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anonymous

anonymous

19:58 Uhr, 10.02.2011

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Hallo Zusammen,

brauche kurz Hilfe.

Die Produktregel beweise ich mit Hilfe des Differentialquotienten.
Nun komme ich am letzten Schritt nicht weiter & würde gerne wissen wie ich genau

u' (x)

und

v (x)

definiere bzw. drauf komme.

Und wieso bilde ich eig. Limes in diesem Fall ? Beeinflusst er die eig. Rechnung?

Danke schonmal.
Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

20:13 Uhr, 10.02.2011

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Hallo,

ich schau mal, ob ich den Beweis noch hinkriege.
Ich werde es mit der x-Methode versuchen. Wir gehen von

f (x) = u (x) \cdot v (x)

aus. Dabei sind

u (x)

und

v (x)

differenzierbare Funktionen. Die Ableitungen sind

u' (x)

und

v' (x)

.
Nach Definition gilt für die Ableitung:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x_{0})}{x - x_{0}}

Nun addieren und subtrahieren wir

u (x_{0}) \cdot v (x)

im Zähler (der Wert verändert sich dadurch nicht)

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x_{0}) + u (x_{0}) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x)}{x - x_{0}}

Reihenfolge im Zähler ein wenig umändern:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x) + u (x_{0}) \cdot v (x) - u (x_{0}) \cdot v (x_{0})}{x - x_{0}}

Ausklammern:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{v (x) \cdot [u (x) - u (x_{0})] + u (x_{0}) \cdot [v (x) - v (x_{0})]}{x - x_{0}}

Bruch aufteilen:

f' (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} v (x) \cdot \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} + lim_{x \to x_{0}} u (x_{0}) \cdot \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}}

lim_{x \to x_{0}} v (x) = v (x_{0})

und

lim_{x \to x_{0}} u (x_{0}) = u (x_{0})

kannst du vor den Grenzwert ziehen:

f' (x) = v (x_{0}) \cdot lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} + u (x_{0}) \cdot lim_{x \to x_{0}} \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}}

Nach der Definition der Ableitung sind nun einfach

lim_{x \to x_{0}} \frac{u (x) - u (x_{0})}{x - x_{0}} = u' (x_{0})

und

lim_{x \to x_{0}} \frac{v (x) - v (x_{0})}{x - x_{0}} = v' (x_{0})

\Rightarrow f' (x) = v (x_{0}) \cdot u' (x_{0}) + u (x_{0}) \cdot v' (x_{0})

Das war es eigentlich schon.

Gruß Shipwater

Frage beantwortet

anonymous

anonymous

21:35 Uhr, 10.02.2011

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Dankeschön, kann man sehr gut nachvollziehen :-)

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

21:36 Uhr, 10.02.2011

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Gern geschehen.

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