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Projektion Kreisbogen auf runde Fläche

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Tags: Projektion

dandre aktiv_icon

21:15 Uhr, 09.03.2010

Hallo an alle,
ich habe mal wieder ein kleines Problem. Ich habe einen Kreisbogen, welchen ich auf eine runde Fläche projizieren muss. Ich habe mal ein Muster mit einem 3D-System errechnet, doch leider kann ich dieses Verfahren nicht immer machen.
R-Kreisbogen = 200mm
Alpha - Kreisbogen = 150°
$R -$ Runde Fläche = 500mm
Bogenlänge - Projektion = 529,74mm

Kennt einer eine Formel, um die Bogenlänge der Projektion zu errechnen.

Vielen Dank
dandre

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Edddi aktiv_icon

11:51 Uhr, 11.03.2010

...hier brauchen wir noch die Lage des Kreisbogens!

trifft die Projektion in der Mitte der gewölbten Zylinder-Mantelfläche auf, so ist die Bogenlänge ja kürzer, als wenn sie ausserhalb (also mehr am "Rand") senkrecht aufprojeziert wird.

...und dann würd' ich die Mantelfläche durch transformation in eine Ebene überführen. So bekommen wir den Kurvenverlauf auf der Ebene.

Denn die Mantelfläche eines Zylinders ist ja der Ebene äquivalent.

;-)

dandre aktiv_icon

23:14 Uhr, 11.03.2010

Vielen Dank für deine Antwort.

Der Mittelpunkt des zu projezierenden Kreisbogens ist mit dem Mittepunkt des Zylinders von oben gesehen deckungsgleich.

MfG
dandre

Edddi aktiv_icon

08:39 Uhr, 12.03.2010

...es ergibt sich dann für die Transformation:

$x_{n} = R \cdot$ arcsin $(\frac{x}{R})$ bei der Abbildung der Koordinatenpunkte auf die in die Ebene überführte gebogene Mantelfläche.

Somit: $R \cdot sin (\frac{x_{n}}{R}) = x$

Für r=Radius deines zu projektierenden Kreises wird deine Kreisgleichung:

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$ zu ${(R \cdot sin (\frac{x_{n}}{R}))}^{2} + y^{2} = r^{2}$

Das Abbild entspricht somit auf der abgerollten Fläche der Funktion:

$y = \pm \sqrt{r^{2} - {(R \cdot sin (\frac{x_{n}}{R}))}^{2}}$

$y = \pm \sqrt{r^{2} - R^{2} \cdot {sin}^{2} (\frac{x_{n}}{R})}$

Für diese Funktion musst du dann das Bogenintegral ermitteln.

Nun brauchst du noch die Grenzen. Ich geh' mal von aus, das der Kreisbogen mit 150° genau senkrecht ausgerichtet ist.

Damit wären dann für den Kreisbogen folgende Grenzen:

$x_{1} = r \cdot$ cos(75°) $= r \cdot cos (\frac{5}{24} \cdot π)$ und $x_{2} = r$

Auch diese Grenzen sind zutransformieren indem ich für $x_{n}$ einfach $R \cdot sin (\frac{x_{n}}{R})$ einsetze:

$R \cdot sin (\frac{x_{1}}{R}) = r \cdot cos (\frac{5}{24} \cdot π)$ und $R \cdot sin (\frac{x_{2}}{R}) = r$

und somit:

$x_{1} = R \cdot$ arcsin $(\frac{r}{R} \cdot cos (\frac{5}{24} \cdot π))$ und $x_{2} = R \cdot$ arcsin $(\frac{r}{R})$

Für den Bogen auf der abgerollten Fläche ergibt sich dann:

$B = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{1 + {([\sqrt{r^{2} - R^{2} \cdot {sin}^{2} (\frac{x}{R})}]')}^{2}} \cdot d x$

...na dann viel Spaß...

(hab' dir mal eine Abbildung eines Kreises mit $r = 3,8$ bei einer Fläche mit $R = 4$ im abgerollten Zustand dargestellt)

;-)

Edddi aktiv_icon

10:10 Uhr, 12.03.2010

...irgendie klappt's nicht mit der Grafik $...$

$[$ EDIT]: jetzt hat's doch geklappt...ausdrucken...Blatt biegen und von vorne drauf gucken, dann sollte man wieder eine Kreis sehen.

;-)

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