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Punkt für Gleichschenkliges Dreieck finden

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Abi 2008, Gerade, Gleichschenkliges Dreieck, Vektor

Nocky

10:39 Uhr, 20.02.2011

Hallo,

ich knabbere jetzt schon seit gestern an einer Teilaufgabe des Abiturs

2008

Aufgabenstellung:
Punkte:

A (1 | 1 | 3) B (- 15 | 17 | 11)

Gerade:

g : x = (13 | - 5 | 3) + r \cdot (- 2 | 2 | 1)

Weisen sie nach, dass es einen Punkt

D

auf der Geraden

g

gibt, so dass die Punkte

A, B

und

D

ein gleichschenkliges Dreieck ABD mit der Basis AB bilden.
Bestimmen sie den Punkt D.

Mein Lösungsansatz:

|AD|²=|BD|²

(12 - 2 r) = (28 - 2 r)

(- 6 + 2 r) = (- 22 + 2 r)

(0 + r) = (- 8 + r)

\Rightarrow

(12-2r)²+(-6+2r)²+(0+r)²=(28-2r)²+(-22+2r)²+(-8+r)²

setzte ich dies nun gleich kommt allerdings nichts raus weil sich

r

ja weg kürzt
als Lösung muss laut unserer Lehrerin 8 herauskommen aber ich komme irgendwie nicht auf diesen wert

. .

.

8 soll man dann in

g : x

einsetzten und so erhält man den Schnittpunkt bzw. Punkt

D

auf

g : x . .

: (

ich hoffe jemand kann mir helfen ich brauche die Lösung nämlich spätestens heute Abend

: (

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Rentnerin

10:57 Uhr, 20.02.2011

Hallo,

vielleicht schneidest Du die Gerade g mit der Ebene E, die senkrecht auf AB steht und durch den Mittelpunkt von

\bar{A B}

geht.

Gruß Rentnerin

Nocky

14:50 Uhr, 20.02.2011

Danke für deine schnelle Antwort :-)

Das hieße dann ja:

(13 | - 5 | 3) + r \cdot (- 2 | 2 | 1) = (1 | 1 | 3) + t \cdot (- 8 | 8 | 4) + s \cdot (- 16 | 16 | 9)

jetzt setzte ich die doch gleich oder? (danach habe ich ja ein LGS, und der Schnittpunkt ist dann mein Parameter

r)

Rentnerin

15:34 Uhr, 20.02.2011

Ich weiss zwar nicht, wie Du auf die Ebene

E : (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{rcl} - 8 \\ 8 \\ 4 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{rcl} - 16 \\ 16 \\ 9 \end{array})

kommst; sie scheint aber nicht die "Mittelsenkrechte" von

\bar{A B}

zu sein. Ein Normalenvektor von E ist z.B.

\vec{n} = \vec{b} - \vec{a} = (\begin{array}{rcl} - 16 \\ 15 \\ 8 \end{array})

,

während der Mittelpunkt M der Strecke

\bar{A B}

sich errechnet aus

\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = (\begin{array}{rcl} - 7 \\ 9, 5 \\ 7 \end{array})

.

Nun kannst Du g in die Normalenform der Ebene E einsetzen und erhältst r.

Alle Werte bitte nochmals nachrechnen!

Nocky

15:49 Uhr, 20.02.2011

tut mir Leid in der Aufgabenstellung war ein Fehler der Punkt A beträgt

(1 | 1 | 3)

und bei

11 - 3

hab ich mich verrechnet .. wie peinlich

... \land

auf die Ebene bin ich gekommen mit

E : a

+t*(OM-a)+s*(b-a)
OM=Mittelpunkt der Basis

Ist diese Form korrekt?

E : a + r \cdot (b - a)

auf die Koordinatenform (die brauche ich ja für die Mittelsenkrechte) komme ich nicht ich habe ja keine 3. Koordinate oder muss ich jetzt OM als 2 Normalendvektor einsetzten?

was meinst du mit einsetzten von

g

? sry ich stehe gerade ein wenig auf dem Schlauch

: (

schwer13 aktiv_icon

15:57 Uhr, 20.02.2011

"(12-2r)²+(-6+2r)²+(0+r)²=(28-2r)²+(-22+2r)²+(-8+r)²
setzte ich dies nun gleich kommt allerdings nichts raus weil sich r ja weg kürzt"

Dann rechnest Du falsch.
r² fallen weg, aber r nicht.

http//www.wolframalpha.com/input/?i=%2812-2r%29%C2%B2%2B%28-6%2B2r%29%C2%B2%2B%280%2Br%29%C2%B2%3D%2828-2r%29%C2%B2%2B%28-22%2B2r%29%C2%B2%2B%28-8%2Br%29%C2%B2

Nocky

16:01 Uhr, 20.02.2011

ok danke dann hab ich da wohl irgendwo einen krassen Fehler...

der Lösungsweg von Rentnerin würde mich trotzdem interessieren :-)

Rentnerin

16:03 Uhr, 20.02.2011

Dann wird auch ein möglicher Normalenvektor gleich schöner:

\vec{n} = (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{array})

und

M (- 7; 9; 7) \in E

führt zu:

E : 2 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} - x_{3} + 39 = 0

.

Dein r errechnest Du nun aus:

2 \cdot (13 - 2 r) - 2 \cdot (- 5 + 2 r) - (3 + r) + 39 = 0 \Leftrightarrow - 9 r + 72 = 0 \Leftrightarrow r = 8

Nocky

16:05 Uhr, 20.02.2011

alles klar vielen dank!

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