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Punkt in Dreieck
Schüler
Tags: Analytische Geometrie, Dreieck
 
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Hallo, ich habe drei Punkte in die ein Dreieck bilden. Ich möchte wissen, ob ein 4. Punkt in dem Dreieck liegt. Wie gehe ich vor? Idee: Ich setzte den Punkt in die Parameterform der Ebene ABC ein und interpretiere die Werte der Parameter und . Ist oder liegt der 4. Punkt auf einer Dreiecksseite. Doch wie ist es, wenn kein Wert von beiden 0 ist? Muss dann gelten? Das wäre meine erste Intuition, ich kann aber nicht begründen, wieso. Und wie sieht die Prozedur bei einem allgemeinem 4eck aus? Danke! :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Im Prinzip lässt sich die Aufgabe besser in der Ebene lösen, ohne dass die allgemeine Gültigkeit darunter leidet. Die Zugehörigkeit zur Ebene kann ja vor der weiteren Rechnung geprüft werden. Soweit ich erinnere, wurde diese Frage hier vor einiger Zeit schon einmal behandelt. Für ergibt sich ja die Mitte der 3.Seite, von daher sieht ganz gut aus |
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Hallo, "Ist ∧ oder ∧ liegt der 4. Punkt auf einer Dreiecksseite." Aber nur auf einer von zwei Dreiecksseiten! Um auf der dritten Seite zu liegen muß gelten: Auch muß insgesamt nicht gelten sondern man muß sich das mal etwas vorstellen: Wenn man die Ebene betrachtet, in der das Dreieck liegt und man die Ebene sich so zurechtdreht, dass links unten ein Dreieckspunkt liegt und rechts unten der Dreieckspunkt, zu dem man mit als Parameter vor dem Vektor gelangt und irgendwo oben der dritte Punkt, zu dem man vom zweiten Punkt aus mit dem Parameter gelangt, dann gilt offensichtlich für das Dreieck: Was zusammen macht: Und das ist schon alles, was gelten muß! Die Summe von und kann sehr wohl auch den Wert 2 annehmen, dann befindet man sich im dritten, oberen Punkt! |
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Sehr schön. Klar, dass der Punkt in der Ebene liegen muss ist natürlich die Voraussetzung. In einem Parallelogramm (und damit auch Quadrat und Rechteck) muss doch sein, oder? Wobei zusätzlich gelten muss. Und wie ist der Sachverhalt in einem allgemeinen Viereck? Für liegt der Punkt auf der 3. Dreiecksseite? Das kann ich nicht nachvollziehen... Wenn und klein sind, lande ich doch niemals auf der 3. Dreiecksseite. |
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Hallo, "Wenn und klein sind, lande ich doch niemals auf der 3. Dreiecksseite." Doch! Wenn gilt, dann landest Du im dritten Punkt, das ist Dir sicher klar, oder? Wenn Du an beliebiger Stelle im Dreieck zu der zweiten Seite (die durch den Vektor zum Partameter gekennzeichnet ist) eine parallele einzeichnest, dann teilst Du die erste Seite (die durch den Vektor zum Partameter gekennzeichnet ist) in einem Verhältnis. Die eine Streckenlänge vom ersten Punkt aus ist dann r*(Länge der ersten Dreiecksseite), das ist einsichtig, oder? Jetzt hast Du eine Strahlensatzfigur (die zweite Seite und die beliebig eingezeichnete Strecke sind parallel!), in der Du sehen kannst, dass die beiden Dreiecksseiten (bei normierten Vektoren) das Verhältnis bilden und für den dritten Eckpunkt gilt wie für jeden anderen Punkt auch (r')/(s')=const. Dieses Seitenverhältnis gilt auch auf der eingezeichneten Parallele zu dem Dreiecksseitenabschnitt, also (r')/(s')=const. Das Verhältnis ist das Verhältnis der unnormierten Vektoren, die zu den Parametern und gehören. Damit ist die dritte Dreiecksseite sehr wohl durch gekennzeichnet! |
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Ich habe mal ein Dreieck räumlich in einen Quader eingezeichnet.Jetzt kann ja der Punkt auf der Ebene des zwischen den Punkten und I aufgespannten Dreiecks im Raum liegen oder auch nicht. Wie weist man dieses nach? mfG Atlantik  |
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Vielleicht hilft eine Mengentheoretische ÜBERLEGUNG. der Punkt muss in drei Streifen gleichzeitig vorkommen  |
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anonymous 11:09 Uhr, 02.11.2012 |
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Siehe http//de.wikipedia.org/wiki/Punkt-in-Polygon-Test_nach_Jordan |
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Bummerang: Ich habe 3 Punkte und C. Die Ebene ist gekennzeichnet durch vec(x)=vec(a)+r*vec(AB)+s*vec(AC). Wenn jetzt UND sind, dann lande ich doch in einem Punkt der das Dreieck zu einem Parallelogramm ergänzt. Meinst du das? Oder was meinst du mit "im dritten Punkt"? Ich kann das grade überhaupt garnicht nachvollziehen, sorry. |
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Hallo, dass die beiden Vektoren durch Dreiecksseiten von dem Stützpunkt aus sind, hast Du bisher verschwiegen! Ich dagegen habe meine beiden Vektoren genau angegeben: "Wenn man die Ebene betrachtet, in der das Dreieck liegt und man die Ebene sich so zurechtdreht, dass links unten ein Dreieckspunkt liegt und rechts unten der Dreieckspunkt, zu dem man mit als Parameter vor dem Vektor gelangt und irgendwo oben der dritte Punkt, zu dem man vom zweiten Punkt aus mit dem Parameter gelangt, dann gilt offensichtlich für das Dreieck:" hier die entscheidende Stelle noch mal deutlicher: "... und irgendwo oben der dritte Punkt, zu dem man VOM ZWEITEN PUNKT AUS mit dem Parameter gelangt ..." Deshalb reden wir aneinander vorbei: Du hast meine Erklärungen nicht gelesen und ich hatte Deine Vorgaben nicht... |
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Okay, aus dem Grund habe ich deine Anmerkungen auch nicht verstanden. Also ja, die Richtungsvektoren der Ebene sind meine Dreiecksseiten, jedenfalls zwei davon. Wie sieht das denn nun in diesem Fall aus? |
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Den Ansatz von Femat finde ich überlegenswert. Mit und sowie einer Fallunterscheidung und stumpf oder spitz) findest du Lösungen ähnlich dem Vorgehen bei linearer Optimierung. |
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Also ich fasse nochmal zusammen: Ich habe ein Dreieck und die Richtungsvektoren haben die Länge der Dreiecksseiten. Gilt so liegt der Punkt in dem Dreieck. Ich verstehe aber noch nicht wieso.. Ich habe heute die Lösung einer Aufgabe zu dem Thema bekommen. Da kam heraus und . Es ist ja klar, dass der Punkt nicht im Dreieck liegt, sondern auf der gedachten Verlängerung einer Dreiecksseite. Aber als Grund stand da: "Da ein Parameter, nämlich nicht im Interwall liegt, ist damit gezeigt, dass der Punkt nicht im Dreieck liegt." Im Umkehrschluss würde das heißen: Wenn und beide im Intervall liegen, wäre der Punkt im Dreieck. Aber das ist doch Schwachsinn. Das würde fürs Parallelogramm gelten, aber nicht fürs Dreieck, oder? |
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Die Umkehrung gilt in der Tat für ein Parallelogramm. In deiner Aufgabe hätte es besser heißen müssen "liegt der Punkt nicht im Parallelogramm und damit auch nicht im Dreieck". |
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Tschuldigung wenn ich reinfunke. "Ich verstehe aber noch nicht wieso.." Der pUNKT KANN DURCH EINE LINEARKOMBINATION ZWEIER SEITEN DARGESTELLT WERDEN. siehe Bild:  |
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und was ist mit meiner Parallelstreifenidee? Habt ihr die schon mal durcgedacht? |
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lgisch schiene mir noch, dass wenn der eine Parameter grösser als ist, hat der andere gefälligst kleiner als zu sein. |
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Ja gut, dann war die Lösung wirklich so blöd formuliert... Ja, das mir der Linearkombination ist ja klar. Aber ich verstehe nicht, wieso ausgerechnet . Stimmt als einziges Kriterium eigentlich? Deine Parallelstreifenidee... naja, ich verstehe was du meinst, weiß aber nicht, wie ich das umsetzen sollte. Ich bin deswegen erstmal bei der ersten Möglichkeit geblieben ;-) |
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Strahlensatz-Betrachtungen scheinen die Bedingung zu erhärten. |
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google mal nach: liegt der Punkt im Dreieck da gibts Mio Treffer, und dein Job ist es, die besten auszuwählen! Beruhigend: Du bist nicht allein mit deinen Problemen im Universum. ;-) |
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vielleicht noch mal zur Streifenmethode. Der Abstand zu a muss kleiner als Abstand A zu a sein und erst noch gleiches Vorzeichen haben! Entsprechend zu und zu . |
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Inwiefern erhärten die Strahlensatzbetrachtungen die Annahme? |
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Habe ein Bild angefügt (Dank an Femat für die Idee). Wegen des Strahlensatzes müssen die Anteile auf beiden Seitenvektoren gleich sein, also und  |
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Ich kann das leider nicht nachvollziehen, ich sehe in deiner Zeichnung keine Strahlensatzfigur bzw.kann mit der, die ich sehen, nichts anfangen. Wie schließt du denn aus der Zeichnung ? |
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landet auf ebenso ebenso landet auf A landet aufC  |
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Ich steh grad echt aufm Schlauch. Was hat das denn mit den Strahlensätzen zu tun? |
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ich spinn' den Gedanken von Femat mal weiter. Es ist gar nicht notwendig, dies auf Streifen zu begrenzen. Es reicht aus, Halbebenen zu definieren. Es seien die drei Punkte des Dreiecks A, B und C im mathematisch positiven Umlaufsinn gegben (in der Ebene von ABC betrachtet). Dann besteht die erste Halbebene aus allen Punkten, die auf oder links vom Vektor AB liegen, die zweite aus allen Punkten, die auf oder links von BC, und die dritte aus den Punkten, die auf oder links von CA liegen. Liegt ein Punkt P in allen drei Halbebenen so liegt er innerhalb des Dreiecks. Ob er in einer Halbebene liegt lässt sich über das Kreuzprodukt bestimmen. Der Vektor AB sei und der Vektor AC sei . Der Vektor AP sei . Der Vektor sei . Dann liegt z.B. genau dann in der ersten Halbebene, wenn bzw. in der Schreibweise als Spatprodukt für Halbebene zwei und drei gilt dann entsprechend und Im Raum kann man sich das so vorstellen, dass durch die Skalarmultiplikation der Kreuzprodukte mit der Punkt in die Ebene von ABC projiziert wird. Gruß Werner |
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Und hier noch ein Bild für "Strahlensatz" |
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Okay, aber die Seiten und sind ja nicht immer gleich lang, oder? Aber das ändert nichts, richtig? |
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Nein, tut es nicht. Entscheidend ist, dass OP immer als dargestellt werden kann. Durch den Endpunkt von wird dann eine Parallele zu also der dritten Seite, gezogen. So entsteht die Strahlensatzfigur. Der Auftreffpunkt der Parallelen auf teilt also im gleichen Verhältnis wie . Daher ist der erste Teil der oberen Seite . Dazu kommt . Wenn wird, bewegt sich über die dritte Seite hinaus |
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Verstanden, danke! :-) |
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