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Punkt mit einem bestimmten Abstand zur Ebene
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Abstand, Gerade, Normalenform, Parameterform, Vektor, Vektorgeometrie, Vektorraum
 
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Ich habe die Aufgabe im Foto zu erlediegen. Bis jetzt habe ich die Normalenform der Ebene aufgestellt. Außerdem den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene S (2/-3/2). Wie ich jetzt jedoch die beiden Punkte auf der Gerade mit dem Abstand 7 rauskriege ist mir schleierhaft. Ich hoffe mir kann jmd helfen. mfG  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Gerade Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform) Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Gerade Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie |
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Hallo, du musst mit der Hesse-Form arbeiten. Dabei wird die Normalform durch die Länge des Normalenvektors dividiert. Wenn du dann für die Koordinaten der Gerade einsetzt und die Gleichung gleich 7 oder setzt, erhältst du eine Gleichung mit der Variablen die dir die beiden Lösungen liefert. Grüße |
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Also wenn ich die Gerade für x einsetze erhalte ich [(2/-3/2) + k (2/-3/6) - (2/-3/2)] * * (-10/-9/6) = 7
aber wie soll ich das denn auflösen :< ? |
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Wäre toll, wenn mir jmd eine Anleitung schreiben würde, wie man das nach k auflösen kann. |
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Ich hoffe deine Ebenengleichung stimmt überhaupt, denn es sieht schon etwas verdächtig aus wenn da keine Quadratzahl unter der Wurzel steht. Durch welche Punkte soll die Ebene denn verlaufen ? A und liegen offenbar in der Ebene, welcher Punkt noch ? Naja ich mach mal ein Beispiel mit einer anderen Ebene, das kannst du ja dann auf deine Aufgabe übertragen: Erstmal würde ich die Ebene auch in Koordinatenform umwandeln. (HNF) Setzen wir jetzt die Gerade und den Abstand aus deinem Beispiel ein erhält man: |
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Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C bestimmt . Ich habe mit A, B, C also erst die Ebene in Parameterform aufgestellt, und dann in die Normalenform (erster Beitrag) [x-(2|-3|2)]*(-10|-9|6) umgeformt. (-10|-9|6) ist also der n Vektor der Ebene. Er ist Wurzel(217) lang daher ist die Hform der Ebene ja [x-(2|-3|2)]*(-10|-9|6)*1/Wurzel(217).
Und jetzt ist ja die Gerade (2|-3|2)+k*(2|-3|6) gegeben die eben diese Ebene bei S (2|-3|2) schneidet. Man soll jetzt die beiden Punkte auf der Gerade angeben, die zu der Ebene, also zu dem Schnittpunkt, den Abstand 7LE haben.
Und wie ich das hinkriege ist mir immer noch nicht klar. |
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Punkt liegt aber gerade nicht in deiner Ebene, also habe ich wohl richtig vermutet. Da hast du dich irgendwo verrechnet. Die Ebene müsste lauten, das führt dann auch zu schön glatten Zahlen. |
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Tatsächlich, ich habe mich beim berechnen des n vektors vertan. Der ist eigtl (4|-6|12) und daher auch 14LE lang. Also ist die HNF ja [x-(2|-3|2)]* 1/14 * (4|-6|12) = 0 Kann man denn auch hier die Gerade und die Länge einsetzen, also wenn die HNF in dieser Form aufgeschrieben ist ? Denn in deinem vorherigen Post habe ich nicht wirklich durchgeblickt, wie du eingesetzt und aufgelöst hast. |
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In dieser Form hast du halt noch Vektoren im Spiel und da kannst du ja dann nicht nach irgendwas auflösen. Deswegen würde ich die Ebene direkt in Koordinatenform bilden, diese entsteht quasi ja auch wenn du die Klammern in deiner Form auflöst. Am Gemütlichsten geht es wenn du es in dieser Form vorliegen hast: http//www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/abstaende/abstand-punkt-ebene/ |
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Gut ich habe es jetzt in die Koordinatenform umgeformt und aufgelöst. Für k ergibt sich 1, und wenn ich 1 in die Geradengleichung einsetze kriege ich den einen, und mit -1 den anderen Punkt. Vielen Dank für deine Hilfe. |
