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Punktsymmetrisch zum Ursprung und durch Punkt[x/x]

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Punkt, Punktsymmetrie, Ursprung

Simballi aktiv_icon

15:24 Uhr, 22.10.2020

Ich habe das Problem, eine bestimmte Funktion nach bestimmten vorgaben aufzustellen.

So habe ich hier eine Aufgabe welche lautet: Geben Sie ein Beispiel einer nicht-linearen Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist und durch den Punkt

(4,4)

geht.

Ich weiß, dass die Funktion beispielsweise ein

x^{3}

beinhalten könnte.
Nun ist aber das Problem, wie genau ich (ohne jegliche Programme) bestimmen kann, dass die Funktion durch genau den Punkt

(4,4)

geht.

Ich nehme mal an durch strecken und stauchen, jedoch konnte ich lediglich mithilfe eines Funktionsgraphen Zeichners zu einer möglichen Lösung kommen.

Durch raten und beten bin ich zu der möglichen Lösung

f (x) = \frac{1}{16} x^{3}

gekommen (falls dies überhaupt richtig ist).

Jedoch wird mir das am Ende in der Klausur natürlich wenig bringen.

Deshalb meine Bitte an euch, wie genau ich bei solch einer Aufgabe vorgehen sollte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Einführung Funktionen
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie
Potenzfunktionen - Einführung
Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

supporter aktiv_icon

15:31 Uhr, 22.10.2020

f (x) = a \cdot x^{3}

f (4) = 4

4 = a \cdot 4^{3}

a = \frac{4}{4^{3}} = \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{16}

rundblick aktiv_icon

15:32 Uhr, 22.10.2020

.
"Ich nehme mal an durch strecken und stauchen,"

das ist doch eine super Annahme .. also:

\Rightarrow

Ansatz

y = a \cdot x^{3}

also wie gross ist

a,

wenn

4 = a \cdot 4^{3}

\to

?

oh - sehe gerade , das supporter a auch berechnen konnte - geht also tatsächlich ohne beten.. :-)

nebenbei:
kennst du ausser

y = x^{3}

noch andere, nicht lineare Funktionen, die punktsymmetrisch zu

(0 / 0)

sind
und die du also auch für deine Aufgabe untersuchen könntest? Was meinst du zB zu

y = s i n x . .

?
..usw..

.

ermanus aktiv_icon

17:13 Uhr, 22.10.2020

Hallo,
hier mal ein recht allgemeiner Ansatz:
Ist

g

eine beliebige Funktion, so ist

f

defniert durch

f (x) = g (x) - g (- x)

eine punktsymmetrische Funktion.
Wenn man den Funktionswert von

g

an der Stelle

- 4

so abändert,
dass

g (- 4) = g (4) - 4

ist, erfüllt

f

alle Bedingungen.
Unter den Pimpillionen Möglichkeiten wähle man

g

so,
dass

f

nicht linear ist.
Gruß ermanus

Simballi aktiv_icon

18:41 Uhr, 22.10.2020

sin (x)

sieht mir auf den ersten Blick nicht falsch aus als eine der möglichen Lösungen.
Wenn ich mir eure (super hilfreichen) Erklärungen zu Herzen nehme, würde ich es so rechnen:

y = a \cdot sin (x)

4 = a \cdot sin (4) | : sin (4)

\frac{4}{sin (4)} = a

a = - 5,285

Ich Hoffe das ist richtig und ich darf den Thread als beantwortet markieren :-D)

Vielen Dank nochmal an Sie alle!

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 22.10.2020

.
"Ich

\to

Hoffe das ist richtig "

\to

die Hoffnung ist offensichtlich Gross :-)
und:
ja ,

\to a = \frac{4}{sin (4)} \approx

−

5,285 . .

.
ist richtig.

.

ermanus aktiv_icon

19:22 Uhr, 22.10.2020

Wenn nicht Stetigkeit verlangt wird, kann man auch dieses
"Minimalbeispiel" nehmen:

f (4) = 4, f (- 4) = - 4

und

f (x) = 0

für alle

x \neq \pm 4

1514465

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