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Quadratische Gleichung mit Betrag

Schüler

Tags: Betrag, Formel, Mitternachtsformel, Quadratische Gleichung

hanswurst89 aktiv_icon

16:11 Uhr, 04.04.2016

Hallo zusammen,

sitze gerade an folgender Aufgabe:

|x²-2x-8|

= 7

Grundsätzlich kann ich ja die Mitternachtsformel (komplizierter mit pq-Formel) verwenden, vorausgesetzt die Gleichung ergibt

0!

Logische Konsequenz wäre also, mit

- 7

den Term gleich 0 zu setzen. Wie verhält sich das allerdings mit dem Betrag? Muss ich diesen vorher auflösen und wenn ja wie?

Der Lösungsweg würde mir sehr helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)
Nullstellen bestimmen

Gemischte Aufgaben
Lösen durch Faktorisieren (Ausklammern)
Lösen durch Umstellen
Lösen mit der Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Lösen mit der Lösungsformel (pq-Formel)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

supporter aktiv_icon

16:25 Uhr, 04.04.2016

Mit Vieta:

| (x - 4) (x + 2) | = 7

Fallunterscheidung:

1.

(x - 4) (x + 2) \geq 0

x > 4 u

x > - 2 - \to x > - 2

. .

.

oder:

x < 4 u

x < - 2 - \to x < - 2

. .

.

Für diese Fälle gilt:

x^{2} - 2 x - 8 = 7

. .

.

2.

(x - 4) (x - 2) < 0

x > 4 u

x < - 2

entfällt
oder:

x < 4 u . x ≻ 2 - \to - 2 < x < 4

Für diesen Fall gilt:

- (x^{2} - 2 x - 8) = 7

. .

abakus

17:10 Uhr, 04.04.2016

"Muss ich diesen vorher auflösen und wenn ja wie?"

Empfehlenswert ist es auf alle Fälle.
|was auch immmer|=7
führt auf die beiden Möglichkeiten
(was auch immer)=7
und
(was auch immer)=-7

Bummerang

18:06 Uhr, 04.04.2016

Hallo,

die Lösung von supporter besitzt mehrere Fehler, also besser nicht abschreiben! Die Fehler sind im einzelnen:

1. Aus

(x - 4) \cdot (x + 2) \geq 0

folgt im einen Unterfall nicht

x > 4

und

x > - 2

sondern

x \geq 4

und

x \geq - 2

2. Weder aus

x > 4

und

x > - 2

folgt

x > - 2

noch folgt aus

x \geq 4

und

x \geq - 2

dass

x \geq - 2

ist, sondern es folgt

x \geq 4

.

3. Aus

(x - 4) \cdot (x + 2) \geq 0

folgt im anderen Unterfall nicht

x < 4

und

x < - 2

sondern

x \leq 4

und

x \leq - 2

und deshalb folgt daraus auch nicht

x < - 2

sondern

x \leq - 2

4. Es muss im zweiten Fall nicht heissen

(x - 4) \cdot (x - 2) < 0

sondern

(x - 4) \cdot (x + 2) < 0

Atlantik aktiv_icon

19:30 Uhr, 04.04.2016

Alternative:

| x^{2} - 2 x - 8 | = 7

\sqrt{{(x^{2} - 2 x - 8)}^{2}} = 7 |^{2}

{(x^{2} - 2 x - 8)}^{2} = 49 | \sqrt{}

1 .) x^{2} - 2 x - 8 = 7

x^{2} - 2 x = 15

{(x - 1)}^{2} = 16 | \sqrt{}

x_{1} = 5

x_{2} = - 3

2 .) x^{2} - 2 x - 8 = - 7

x^{2} - 2 x = 1

{(x - 1)}^{2} = 2 | \sqrt{}

x_{1} = 1 + \sqrt{2} \approx 2,41

x_{2} = 1 - \sqrt{2} \approx - 0,41

mfG

Atlantik

G r a p h :

abakus

21:58 Uhr, 04.04.2016

Hallo Atlantik,
in deinem Beitrag sind zwei Fehler.
Fehler 1: Du verwendest den Begriff "Alternative".
Dieser Begriff suggeriert, dass du eine bisher nicht betrachtete Lösungsvariante darstellst.
Das stimmt nicht, denn das Vorliegen von zwei Gleichungen
...=7
und
...=-7
habe ich bereits angesprochen.
Fehler 2:
Dein Brimborium auf dem Weg zu diesen beiden Gleichungen enthält einen groben Schnitzer.
Wenn man auf die Gleichung
...=49
den Rechenbefehl "Wurzelziehen" löslässt, kommt man nicht auf 7 und auf -7.
Es gibt nur einen Rudi Völler, und es gibt auch nur EINE (reelle) Wurzel von 49 (und die ist 7).

Atlantik aktiv_icon

05:45 Uhr, 05.04.2016

A)

" Fehler

1 :

Du verwendest den Begriff "Alternative". "

Das habe ich nicht als Alternative zu deinem Aufschrieb notiert, sondern als eine Möglichkeit gesehen, eine Fallunterscheidung

(... . \geq 0

und

... < 0)

zu vermeiden.

B)

Fehler 2:

"Dein Brimborium auf dem Weg zu diesen beiden Gleichungen enthält einen groben Schnitzer...."

Wenn du eine Gleichung

x = \sqrt{9}

löst, so gibt es nur

x = 3

als Lösung.

Bei

x^{2} = 16

sieht es anders aus.

x_{1} = 4

und

x_{2} = - 4

Wie kannst du dann erklären, dass es trotzdem 4 Lösungen der Betragsgleichung gibt?

mfG

Atlantik

abakus

15:15 Uhr, 05.04.2016

"Bei x²=16 sieht es anders aus."

Ja. Aber dann darfst du als Rechenbefehl nicht "Wurzelziehen" schreiben.

Die richtige Folgerung aus x²=16 ist |x|=4.
Damit hast du die Betragsschreibweise wieder drin, die du eigentlich beseitigen wolltest.

Atlantik aktiv_icon

13:19 Uhr, 06.04.2016

Schau mal hier:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/quadratischeergaenzung.htm

mfG

Atlantik

Roman-22

13:44 Uhr, 06.04.2016

>

Schau mal hier:
Nur weils irgendwo im Netz falsch oder irreführend steht, musst du es deshalb ja nicht für bare Münze nehmen und unreflektiert abschreiben.
Das "Wurzelziehen" ist im Reellen nun mal eine eindeutige Angelegenheit. Darüber sollten wir hier wirklich nicht diskutieren müssen.

\sqrt{4} = 2

und sonst nix.

x^{2} = 4

hat die Lösungen

x = \pm 2,

aber nicht deswegen, weil das Wurzelziehen zweideutig wäre. Nur darum geht es.

Ich schätze die Seiten von Arndt Brünner sehr, aber wenn er dort den Eindruck erweckt, das

\pm

wäre dem Wurzelziehen geschuldet, dann ist das leider irreführend.

Ich würde mich feige mit

x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2

aus der Affäre ziehen und nicht näher spezifizieren (also nicht

\sqrt{}

oder "Wurzel ziehen" anschreiben), woher das

\pm

jetzt kommt - das weiß man einfach.

Formal ist es natürlich korrekt, zu schreiben,

x^{2} = 4 \Rightarrow | x | = 2 \Rightarrow x = \pm 2

. Letzteres weiß man eben auch einfach ;-)

R

Atlantik aktiv_icon

15:08 Uhr, 06.04.2016

Danke für deine Erläuterung!

Werde ich mir merken und nicht mehr

{(... .)}^{2} = ... | \sqrt{}

aufschreiben.

mfG

Atlantik

hanswurst89 aktiv_icon

17:27 Uhr, 07.04.2016

Danke für die schnelle Antwort. Das löst aber nicht mein eigentliches Problem:

Satz von Vieta schön und recht, aber ich kann diesen doch nur anwenden, wenn die Gleichung lauten würde:

|x²-2x-8|=0

x 1 + x 2 = - p

und

x 1 \cdot x 2 = q

x 1 + x 2 = 2

und

x 1 \cdot x 2 = - 8

x 1 = - 2

und

x 2 = 4

[x - (- 2)] \cdot (x - 4) = 0

Jetzt habe ich allerdings die 7 vernachlässigt. Somit verändert sich doch das Ergebnis des Terms.

Hier mein Lösungsvorschlag:

|x²-2x-8|=7

Fall 1 (wenn x²-2x-8≥0)

x²-2x-8=7

/ - 7

x²-2x-15=0

x 1 = - 3

und

x 2 = 5

Fall 2 (wenn x²-2x-8<0)

x²-2x-8=-7

/ + 7

x²-2x-1=0

Kein Faktor ganzer Zahlen, also wende ich die Mitternachtsformel an.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2}

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 4}}{2}

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 \cdot 4}}{2}

x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}

x = \frac{2 \cdot (- 1 \pm \sqrt{2})}{2}

x = - 1 \pm \sqrt{2}

x 1 \approx 0,4142

und

x 2 \approx - 2,4142

So nun sehe ich, dass genau das gleiche rauskommt wie in euerer Lösung. Warum steht in jedem Buch und überall im Netz das der Term für die pq Formel 0 ergeben muss. Könnt ihr mir in einfachen Worten erklären, warum das so ist.

Roman-22

18:16 Uhr, 07.04.2016

>

Das löst aber nicht mein eigentliches Problem
War doch schon gelöst, aber es gab formale Mängel.

>

Warum steht in jedem Buch und überall im Netz das der Term für die pq Formel 0 ergeben muss.
???? Müssen wir diese Frage verstehen? Welcher Term soll in welcher Formel 0 sein ??

>

Satz von Vieta schön und recht, aber ich kann diesen doch nur anwenden, wenn die Gleichung lauten würde:

>

|x²-2x-8|=0

Hmm, du zB den ersten Fall mit

x^{2} - 2 x - 8 \geq 0

behandelt und die Lösungen

x_{1} = - 3

und

x_{2} = 5

erhalten.
Hast du überprüft, ob für diese x-Werte auch tatsächlich die Ungleichung

x^{2} - 2 x - 8 \geq 0

erfüllt ist? Du hast Glück, denn sie ist es in beiden Fällen und das gilt auch entsprechend für die anderen beiden Lösungen. Müsste aber nicht so sein. Würdest du etwa im ersten Fall

x = 3

rausbekommen, wäre dies KEINE Lösung, da die ganze Rechnung für diesen WErt nicht gilt, da für ihn die vorausgesetzte Ungleichung nicht erfüllt ist. Hättest du daran gedacht?

Du kannst nun die entsprechende Ungleichung für alle erhaltenen Lösungskandidaten durch Einsetzen überprüfen um festzusetellen, ob sie erfüllt sind.

Alternativ kannst da aber auch die Nullstellen von

x^{2} - 2 x - 8

bestimmen (zB mit Vietà). Sie sind

- 2

und

+ 4

. Da der Koeffizient von

x^{2}

positiv ist

(+ 1),

ist nun

x^{2} - 2 x - 8 < 0

für

- 2 < x < 4

und es gilt

x^{2} - 2 x - 8 \geq 0

für

x \leq - 2 \lor x \geq 4

. Ergebnisse, die nicht in den jeweiligen Gültigskeitsbereichen für

x

liegen sind dann eben keine Lösungen.

R

hanswurst89 aktiv_icon

18:52 Uhr, 07.04.2016

Hallo Roman,

Wenn ich jetzt die

x 1

und

x 2

einsetze ergibt sich Folgendes:

Fall 1:

(x 1

einsetzen)

7 \geq 0

passt

(x 2

einsetzen)

7 \geq 0

passt

Fall 2:

(x 1

einsetzen)

- 8,66 < 0

passt

(x 2

einsetzen)

2,66 < 0

passt nicht

Wähle ich die alternative Vorgehensweise:

Fall 1:
x²-2x-8≥0 für

x \leq - 2 \lor x \geq 4

- 3

und 5 sind im Gültigkeitsbereich

Fall 2:
x²-2x-8<0 für

- 2 < x < 4

- 1 + \sqrt{2}

passt (≈0,4142)

- 1 - \sqrt{2}

passt nicht (≈−2,4142)

Das heißt meine Lösungsmenge ist

- 2; 4; (- 1 + \sqrt{2})

Wie sieht also mein Graph dann aus? Atlantik hatte einen Graph mit 4 Nullstellen gezeichnet. Wie habe ich das zu verstehen?

Roman-22

19:09 Uhr, 07.04.2016

>

Wie sieht also mein Graph dann aus? Atlantik hatte einen Graph mit 4 Nullstellen gezeichnet.
Und der war auch korrekt.

>

Wie habe ich das zu verstehen?
Ich hatte zwar ohnedies geschrieben, dass alle vier Werte Lösungen sind. Allerdings hatte ich, da du auch geschrieben hattest, die gleichen Lösungen wie Atlantik erhalten zu haben, nicht bemerkt, dass du die "Mitternachtsformel" falsch hast. Dort muss am Beginn im Zähler

+ 2

und nicht

- 2

stehen, die beiden Lösungen sind also

+ 1 \pm \sqrt{2}

und sind beide gültig.

Du solltest übrigens besser die Lösungen von

x_{1}

bis

x_{4}

durchnummerieren und nicht für unterschiedliche Werte jeweils die gleiche Bezeichnung

x_{1}

oder

x_{2}

verwenden.

R

hanswurst89 aktiv_icon

14:25 Uhr, 08.04.2016

Wir haben also folgende Ergebnisse:

x_{1} = - 3

x_{2} = 5

x_{3} = 1 + \sqrt{2}

x_{4} = 1 - \sqrt{2}

Bei der Überprüfung durch Einsetzen ergibt sich dann logischerweise (da die Lösungen auf |x²-2x-8|=7 beruhen):

für

x_{1}

und

x_{2}

ergibt sich

7 \geq 0

für

x_{3}

und

x_{4}

ergibt sich

- 7 < 0

also die jeweiligen Ergebnisse nach Betragsauflösung.

Jetzt erschließt sich mir leider nicht, warum ich dann überhaupt die Überprüfung durchführen soll?

Roman-22

16:34 Uhr, 08.04.2016

>

Jetzt erschließt sich mir leider nicht, warum ich dann überhaupt die Überprüfung durchführen soll?

Weil dir niemand garantieren kann, dass diese Überprüfungen immer erfolgreich sind (hier ja, weil rechts nur eine positive Zahl steht).

Versuche dich an der Aufgabe

| x^{2} - 2 x - 8 | = 7 - 4 x

Hier führt dich ein analoger Rechenweg wieder auf vier Werte, die Gleichung hat aber nur zwei reelle Lösungen.

R

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