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Quotientenregel mit Wurzel im Nenner

Schüler

Tags: Quotientenregel, Wurzel

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15:28 Uhr, 19.03.2013

Hi Leute, ich habe mal eine Frage zu dieser Ableitungsaufgabe hier,

f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x + 1}}

u = x - 1

u' = 1

v = \sqrt{x + 1}

v' = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}

das Ergebnis laut Buch ist :

f' (x) = \frac{x + 2}{2 \sqrt{x + 1}}

Ist das Ergebnis richtig ? Ich komme einfach nie auf die

x + 2

im Zähler

: (

Könnte mir das einer eben per Rechnungsweg zeigen ?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Quotientenregel
e-Funktion

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Matheboss aktiv_icon

15:48 Uhr, 19.03.2013

Ist Deine Angabe richtig?
Mathcad und ich kommen auf

f' (x) = \frac{x + 3}{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}

f' (x) = \frac{\sqrt{x + 1} \cdot 1 - (x - 1) \cdot \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{x + 1}

jetzt erweitern mit

{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}

f' (x) = \frac{x + 1 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)}{(x + 1) \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot x + \frac{3}{2}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x + 3}{2 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}

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18:58 Uhr, 19.03.2013

Also ich komme auf das gleiche wie du, nur unten als Wurzel nicht

\frac{3}{2}

sondern normal

\frac{1}{2}

also zweite wurzel.

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19:01 Uhr, 19.03.2013

Alternativ wäre noch mit der Produktregel abzuleiten, in dem man die Wurzel hoch bringt in den Zähler.
Vielleicht fällt das ja leicher, da man so die ganzen Wurzeln garnicht hat.

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19:12 Uhr, 19.03.2013

Das Ergebnis von Matheboss ist aber korrekt,

\frac{3}{2}

sind schon richtig.

Wie gesagt mit der Produktregel ist es wesentlich einfacher in dem Fall, wie ich finde.

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19:22 Uhr, 19.03.2013

Aber warum

\frac{3}{2} : (

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22:08 Uhr, 19.03.2013

Also ich mach das mal mit der Produktregel:

f (x) = \frac{x - 1}{{(x + 1)}^{0,5}}

f (x) = (x - 1) \cdot {(x + 1)}^{- 0,5}

u = x - 1

u' = 1

v = {(x + 1)}^{- 0,5}

v' = - 0,5 \cdot {(x + 1)}^{- 1,5}

f' (x) = (x - 1) \cdot (- 0,5) {(x + 1)}^{- 1,5} + {(x + 1)}^{- 0,5}

Nun Kannst du

{(x + 1)}^{- 1,5}

ausklammern.

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [(x - 1) \cdot (- 0,5) + {(x + 1)}^{1}]

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [- 0,5 x + 0,5 + x + 1]

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [0,5 x + 1,5]

f' (x) = \frac{0,5 x + 1,5}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}

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22:12 Uhr, 19.03.2013

Hmm, aber

1,5

im Zähler ? Muss da nicht

+ 3

stehen ?

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22:13 Uhr, 19.03.2013

Erweiter mal Zähler und Nenner mit

2,

dann hast du das gleiche Ergebnis wie von Matheboss.

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22:16 Uhr, 19.03.2013

Hmm ja okay klar, jetzt ist das bisschen verständlicher geworden, besten dank für deine mühe , mir es nocheinmal mit der produktregel zu erklären ! Nur eine Frage noch, ich kann dann quasi bei solchen Aufgaben, immer die Wurzelableitung ausklammern oder ?

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22:19 Uhr, 19.03.2013

Genau!
Du könntest genau so die Wurzel verschwinden lassen und die Quotienten Regel benutzen.
Ohne der Wurzel ist es wesentlich einfacher.

Ich empfehle eigentlich IMMER den Nenner hoch zu bringen und weiter mit der Produktregel zu rechnen, jeden seine Sache. :-)

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22:24 Uhr, 19.03.2013

Aber ein verstehe ich nicht, du klammerst aus, und die

{(x + 1)}^{- 0,5}

sind dann einfach weg

: (

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22:28 Uhr, 19.03.2013

Irgendwie muss ich ja zu

{(x + 1)}^{1}

kommen, aber ich sehe es noch nicht

: (

elsicitan aktiv_icon

22:32 Uhr, 19.03.2013

Also das ganz normale Prinzip beim Ausklammern funktioniert so:

Z . B

x^{2} + x^{4}

man klammert immer die kleinste

x

potenz aus, in dem Fall

x^{2}

. Beim Ausklammer wird immer mit der ausgeklammerten hochzahl SUBTRAHIERT:

x^{2} (x^{2 - 2} + x^{4 - 2})

x^{2} (x^{0} + x^{2})

x^{2} (1 + x^{2})

Zu unser Fall:

f' (x) = (x - 1) \cdot (- 0,5) {(x + 1)}^{- 1,5} + {(x + 1)}^{- 0,5}

Bei uns ist das kleinste

x

potenz

{(x + 1)}^{- 1,5},

nicht verwechseln, da es negativ ist ist das kelinste hoch

- 1,5

und nicht hoch

- 0,5

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [(x - 1) \cdot (- 0,5) + {(x + 1)}^{- 0,5 - (- 1,5)}]

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [(x - 1) \cdot (- 0,5) + {(x + 1)}^{- 0,5 + 1,5}]

f' (x) = {(x + 1)}^{- 1,5} [(x - 1) \cdot (- 0,5) + {(x + 1)}^{1}]

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22:37 Uhr, 19.03.2013

BOA :-D) Wie geil ist das denn Bitte :-D) Ich weiß garnicht, wie ich dir jetzt Danken soll :-D) Diese Regel habe ich ja total verschludert, aber echt besten Dank, das du dir die Zeit dafür genommen hast ! Jetzt weiß ich, wie es geht ! :-)

elsicitan aktiv_icon

22:39 Uhr, 19.03.2013

Gern geschehen