Rechenweg Umwandlung Wurzel in Potenz

Kann mir irgendjemand sagen wie man (ohne viel Rechenaufwand) darauf kommt, dass 8^1/6 das gleiche ist wie 4^1/4 oder 2^1/2 ? Diese Reihe kann man auch noch (sowohl nach oben als auch nach unten) erweitern. Ich kann zwar nachweisen, dass alles das gleiche ist aber wie soll ich denn auf die Schnelle auf sowas kommen, wenn ich nur die Wurzelschreibweise habe.

Weiteres Beispiel:

Gegeben: 3 Wurzel aus 9
Aufgabe: Alle Wurzeln entfernen
...
...
[ Kreative Rechnerei *g* ]
....
....
Ergebnis: 3 Wurzel aus 9 ist das gleiche wie 3^2/3

Hi,

du weisst sicherlich, dass man ne wurzel auch als^1/2 schreiben kann. so kannst du es auch mit der 3./4./n-ten wurzel machen.

Beispiel: ${\displaystyle \sqrt[3]{9}}$${\displaystyle =9^{\frac{1}{3}}}$       ${\displaystyle \sqrt[6]{10}={10}^{\frac{1}{6}}}$

wenn du nun z.B. ${\displaystyle \sqrt[3]{81}}$ hast, kannste das als ${\displaystyle {81}^{\frac{1}{3}}}$ schreiben. Wenn du es weiter umformen willst, musste einfach aus 81 die wurzel ziehen und das in die hochzahl packen(zähler mit 2 multiplizieren).

--> ${\displaystyle \sqrt{81}=9}$ also kannste ${\displaystyle 9^{\frac{2}{3}}}$ schreiben. Oder ${\displaystyle 3^{\frac{4}{3}}}$

ist es so besser zu verstehen?

Hallo,

man definiert in der Mathematik:

Für a>0 und natürliche Zahlen n gilt:

${\displaystyle \sqrt[\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$  ,   d.h. die n-te Wurzel ist gleichbedeutend mit der Potenz mit dem Bruchexponenten 1/n.

Alles weitere ergibt sich dann aus der Anwendung der Potenzgesetze, z.B.

${\displaystyle {\left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

In Worten: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.

Damit auch:

${\displaystyle {\left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\right)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{1}{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$

Diesbezüglich sind auch bei den Beispielen von Moritz die Klammern nicht richtig gesetzt.

Statt 9^(1/3)=3^(2^(1/3)) müsste es heißen: 9^(1/3)=(3^2)^(1/3)

denn nur dann gilt:  (3^2)^(1/3))=3^(2/3)

Mit dem Formeleditor:

${\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}={\left(3^2\right)}^{\frac{1}{3}}=3^{2\cdot \frac{1}{3}}=3^{\frac{2}{3}}}$

oder die von dir genannten Beispiele:

${\displaystyle 8^{\frac{1}{6}}={\left(2^3\right)}^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}$  

bzw.

${\displaystyle 4^{\frac{1}{4}}={\left(2^2\right)}^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}}$.

Bei solchen Aufgaben dien Basis also möglichst immer als (Primzahl-)Potenz schreiben und dann nach den Bruchrechenregekn den/die Exponenten vereinfachen.

MfG

Vielen Dank für die schnellen Antworten an alle. Ihr habt mir eine Menge Arbeit erspart ;-)