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Rekonstruktion einer Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Polynom Grad, Punkt, Steigung

ibdbadw aktiv_icon

10:26 Uhr, 04.05.2012

Hallo ich hab da mal ne frage und zwar hab ich diese Aufgabe bekommen. Ein Polynom vierten Grades geht durch den Ursprung und hat dort einen Wendepunkt. Sowohl hier als auch für

x = 6

hat es waagerechte Tangenten. Der Graph des Polynoms schneidet die x-Achse ein zweites Mal mit der Steigung

- 8

. Wie lautet die Gleichung des Polynoms?
Meine Frage bezieht sich auf die Steigung

- 8,

ich weiß nicht recht wie ich daraus ne Gleichung bilden soll,da mir die

x

Stelle fehlt. Danke für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

11:02 Uhr, 04.05.2012

Ich könnte mir denken, dass es mit Parameter geht. Mir scheint es so, als ob der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.

mfG
Atlantik

Bummerang

11:14 Uhr, 04.05.2012

Hallo,

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

f' (x) = 4 \cdot a \cdot x^{3} + 3 \cdot b \cdot x^{2} + 2 \cdot c \cdot x + d

f'' (x) = 12 \cdot a \cdot x^{2} + 6 \cdot b \cdot x + 2 \cdot c

f (0) = 0 = a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{3} + c \cdot 0^{2} + d \cdot 0 + e = e \Rightarrow e = 0

f' (0) = 0 = 4 \cdot a \cdot 0^{3} + 3 \cdot b \cdot 0^{2} + 2 \cdot c \cdot 0 + d = d \Rightarrow d = 0

f'' (0) = 0 = 12 \cdot a \cdot 0^{2} + 6 \cdot b \cdot 0 + 2 \cdot c = 2 \cdot c \Rightarrow c = 0

f' (6) = 0 = 4 \cdot a \cdot 6^{3} + 3 \cdot b \cdot 6^{2} = 864 \cdot a + 108 \cdot b \Rightarrow b = - \frac{864}{108} \cdot a = - 8 \cdot a

\Rightarrow f (x) = a \cdot x^{4} - 8 \cdot a \cdot x^{3} = a \cdot x^{3} \cdot (x - 8)

Die Nullstellen des Polynoms sind

x_{1,2,3} = 0

und

x_{4} = 8

f' (x) = 4 \cdot a \cdot x^{3} - 24 \cdot a \cdot x^{2}

f' (8) = - 8 = 4 \cdot a \cdot 8^{3} - 24 \cdot a \cdot 8^{2} = 2048 \cdot a - 1536 \cdot a = 512 \cdot a \Rightarrow a = - \frac{8}{512} = - \frac{1}{64}

\Rightarrow f (x) = - \frac{1}{64} \cdot x^{4} - 8 \cdot (- \frac{1}{64}) \cdot x^{3} = - \frac{1}{64} \cdot x^{4} + \frac{1}{8} \cdot x^{3}

Ich hoffe, mich nicht verrechnet zu haben, aber der Weg wird daraus hoffentlich klar!

@Atlantik:
Punktsymmetrie maximal für Funktionen ungeraden Grades!

Atlantik aktiv_icon

12:19 Uhr, 04.05.2012

@Bummerang, danke , daran habe ich gerade nicht gedacht.

mfG

Atlantik

ibdbadw aktiv_icon

12:36 Uhr, 04.05.2012

Vielen Dank dank deine Lösung hat mir sehr geholfen, auf diesen Lösungsanstz bin ich gar nicht gekommen. Danke

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