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Relationen mit Kongruenzen

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Analytische Zahlentheorie, Antisymmetrie, Reflexivität, Relation., Symmetrie, Transitivität

trunksen aktiv_icon

14:30 Uhr, 10.05.2010

Hi!

Also ich habe eine Relation mit einer Kongruenz gegeben und möchte wissen, ob ich da nicht einen Denkfehler habe!

Die Relation $x R y \Leftrightarrow x - y ≢ 0 \mod 3$

Sie ist zu untersuchen auf Reflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivität und ob es eine Äquivalenzrelation oder eine Ordnungsrelation ist!

Zu Reflexivität:

Definition: $x R y \Rightarrow x R x$

in diesem Fall: $x - x ≢ 0 \mod 3$

Wenn man berechnet 0:3 ergibt es 0 Rest 3 oder?

x-x müsste doch genauso immer 0 ergeben, also genauso 0 modulo 3

Allerdings ist die Relation ja, dass es nicht kongruent ist, also dürfte es nicht reflexiv sein oder?

Symmentrie:

Definition: $x R y \Leftrightarrow y R x$

Also hier:

$x - y ≢ 0 \mod 3 \Rightarrow y - x ≢ 0 \mod 3$

wenn man davon ausgeht, dass x-y > 0 ist (das heißt $x \neq y$ ), dann muss doch y-x auch ungleich 0 sein oder?

Es geht ja darum, dass x-y bzw. y-x bei einer Division durch 3 nie denselben Rest ergeben dürfen wie bei 0:3! Ist das hier gegeben?

Hier bin ich mir nämlich wirklich unsicher,!

Es genügt ja, einen Beweis zu finden, bei dem das nicht der Fall ist!

Antisymmetrie:

Definition: $x R y \land y R x \Rightarrow x = y$

Wenn x = y wäre, dann würde ja (bei meinem Verständniss) es gleich sein wie bei der Transitivität, nämlich das x-y = 0 ergeben würde und es somit kongruent 0 modulo 3 wäre!

Also kann es nicht antisymmetrisch sein oder?

Transitivität:

Definition: $x R y \land y R z \Rightarrow x R z$

Also hier: $w e n n x - y ≢ 0 \mod 3 \land y - z ≢ 0 \mod 3$

sprich, weder bei x-y noch bei y-z ergibt es 0 (bzw bei Division durch 3 => Rest 3)
dann müsste es doch gegeben sein, dass x-z auch nicht 0 oder mod3 Rest 3 ergeben oder?
Also glaube ich es ist transitiv!

Allerdings ist diese Relation dann, laut meiner Lösung nur transitiv und das kann ich mir sehr schwer vorstellen!
Ich befürchte, hier habe ich irgendwo einen groben Denkfehler!
Hoffentlich findet diesen jemand (und nimmt sich die Zeit diesen langen thread zu lesen =)

mfg trunksen

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Symmetrie von Vierecken

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

14:37 Uhr, 10.05.2010

\equiv

eine Äquivalenzrelation ist, gilt
1. stets

x \equiv x,

also gewiss nie

x R x,

also nicht reflexiv
2.

x R y \Leftrightarrow \neg (x \equiv y) \Leftrightarrow \neg (y \equiv x) \Leftrightarrow y R x,

also symmetrisch

Antisymmetrie un dTransitivität zeigt man am besten durch Gegebnbeispiele (und nicht durch Glauben):

1 R 2

und

2 R 1,

aber nicht

1 = 2,

also nicht antisymmetrisch

1 R 2

und

2 R 1,

aber nicht

1 R 1,

also nicht transitiv

trunksen aktiv_icon

15:22 Uhr, 10.05.2010

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

>Da ≡ eine Äquivalenzrelation ist, gilt

Woher weiß man dies? Ist das in der Definition?
Denn in unserem Skriptum steht:
übliche allgemeine Notation:
Äquivalenzrelationen sind: reflexiv, symmetrisch und transitiv!
Diese Relation ist aber weder reflexiv noch transitiv

: \frac{-}{!}

>Antisymmetrie un dTransitivität zeigt man am besten durch Gegebnbeispiele (und nicht >durch Glauben)

Schon klar, allerdings habe ich nur "geglaubt", dass meine Annahmen stimmen!

> 1 R 2

und

2 R 1,

aber nicht

1 = 2,

also nicht antisymmetrisch

Hier hast du: 1-2≢

0 mod 3

und

2 - 1

≢

0 mod 3

hergenommen oder?
Da die zwei Aussagen zutreffen, aber

x

≠

y,

daher nicht antisymm.

Bei Transitivität hast du für

x = 1, y = 2

und

z = 1

genommen oder?

> 2

. xRy⇔¬(x≡y)⇔¬(y≡x)⇔yRx, also symmetrisch

Dies wird wieder eine Definition der Konkruenz sein oder?

Mir stellt sich nur noch die Frage, wie man darauf kommt das dies eine Äquivalenzrelation ist, denn ich glaube deine Rechenschritte verstanden zu haben

=)

mfg trunksen

hagman aktiv_icon

12:13 Uhr, 12.05.2010

Dass

\equiv

eine Äquivalenzrelation ist, solltet ihr schon einmal nachgewiesen haben 8so ziemlich als erste Eigenschaft nach Definition von

\equiv)

.
Definiert habt ihr vermutlich

a \equiv b mod m : \Leftrightarrow m | (a - b)

bzw.

\Leftrightarrow \exists k \in ℤ : a - b = k \cdot m

.

Die Relation (hier der Einfachheit ohne

mod m

notiert) ist reflexiv:

a \equiv a

folgt durch Wahl von

k = 0 : a - a = 0 \cdot m

Die Relation ist symmetrisch:
Aus

a \equiv b,

also etwa

a - b = k \cdot m,

folgt

b - a = (- k) \cdot m,

also

b \equiv a

Die Relation ist transitiv:
Sei

a_{=} b

und

b \equiv c,

etwa

a - b = k_{1} \cdot m, b - c = k_{2} \cdot m

. Dann

a - c = (k_{1} + k_{2}) \cdot m,

also

a \equiv c

.

Bei genauer Betrschtung verwendet dieser Beweis, dass

ℤ

bzw.

m \cdot ℤ

eine Gruppe ist (neutrales Element bei reflexiv, inverses Element bei symmetrisch, additiv abgeschlossen bei transitiv)

Das bei 2. verwendete

\neg (x \equiv y) \Leftrightarrow \neg (y \equiv x)

bzw.

x \equiv y \Leftrightarrow y \equiv x

ist in der Tat einfach die Symmetrie der Äquivalenzrelation

\equiv

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