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Schachtel falten, Volumen bestimmen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Karton, mathe, oben offen, Schachtel, Volumen, x=?, y=?

Yve-0ne aktiv_icon

17:27 Uhr, 10.09.2009

Halli hallo.
Ich bins schon wieder...

Ich soll für die Schule folgendes ausrechnen:

Aus einem Karton mit den Seitenlängen

30

und 50cm soll durch Einschneiden an den Ecken eine oben offene Schachtel mit möglichst großem Volumen hergestellt werden.
Bestimmen Sie die Abmessungen.

Okay. Ich weiß was ich machen soll. Aber wie??

Mir ist ja klar, dass dann die Seite

y

50cm-2z und die Seite

x

30cm-2z lang ist, aber wie stelle ich denn da jetzt die richtige Gleichung für das Volumen auf?

Bitte helft dem kleinen Mathe-Dummerchen

v . v

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ElektroHans aktiv_icon

17:40 Uhr, 10.09.2009

Das Volumen ist

V = x \cdot y \cdot z

. Bei dir ist das dann eine Funktion in Abhängigkeit von

z

V (z) = x (z) \cdot y (z) \cdot z

x (z)

und

y (z)

sind die zwei Gleichungen die du schon aufgestellt hast.
Davon brauchst du im 2. Schritt dann das Maximum.

Ich kann noch mehr schreiben, aber ich will dir ja nicht gleich den ganzen Spaß verderben ;-)

Yve-0ne aktiv_icon

17:51 Uhr, 10.09.2009

Hm. Wieso abhängig von z?
Ich war der Meinung, dass

z

nur die Länge und Breite des umgeklappten und gefalteten Stücks ist.. also praktisch ein Din

A 4

Blatt, bei dem in jeder Ecke ein Quadrat wäre, was dann die Länge und Breite

z

hätte.. oder meinst du das und ich versteh es einfach nicht?

:' D

ElektroHans aktiv_icon

18:01 Uhr, 10.09.2009

Ich meine... nehmen wir mal die Breite

(y) :

y

des Blattes ist 30cm.

y

der Schachtel ist 30cm-2z
und das ist ja von

z

Abhängig.

z

ist die Höhe der Schachtel und ich muss das Blatt ja auf beiden (allen

4)

Seiten hochfalten. Deshalb ist die Breite der Schaltel abhängig von

z

y (z) =

30cm-2z

Yve-0ne aktiv_icon

18:08 Uhr, 10.09.2009

Ach so meinst du das! Okay verstehe.
Und wie rechne ich dann weiter?

V (z) = x (z) \cdot y (z) \cdot z

?
also

x = 30 - 2 z; y = 50 - 2 z

V (z) = 30 - 2 z \cdot 50 - 2 z \cdot z

Muss ich das dann multiplizieren?
= 30-100z-2z² ???

ElektroHans aktiv_icon

18:14 Uhr, 10.09.2009

Ausmultiplizieren ja, aber du musst Klammern setzen um die

x -

und

y -

Formeln.
(30cm-2z)*(50cm-2z)*(z)

Yve-0ne aktiv_icon

18:20 Uhr, 10.09.2009

Okay...
Ähm und dann?
Hab ich dann
1500cm-60z+30z-100z+4z²-2z²+50z-2z² ??
Das kann ich irgendwie nicht

v . v

Leuchtturm aktiv_icon

18:24 Uhr, 10.09.2009

Diese Aufgabe nur mit anderen Zahlen ist hier doch schon x-mal vorgerechnet worden.....
Einfach vorher mal in der Suche nachgucken.....
http//www.onlinemathe.de/forum/Einfache-Extremwertprobleme-62

Yve-0ne aktiv_icon

18:27 Uhr, 10.09.2009

Das ist ja alles schön und gut, nur bringt mir das nichts, wenn ich es so nicht verstehe

, o d e r ?

ElektroHans aktiv_icon

18:30 Uhr, 10.09.2009

Die Frage war ja nicht nach einer Komplettlösung. Ich mach das gern Schritt für Schritt, jedes mal neu ;-)

V (z) = (30 - 2 z) \cdot (50 - 2 z) \cdot z

= (1500 - 60 z - 100 z + 4 z^{2}) \cdot z

= 1500 z - 60 z^{2} - 100 z^{2} + 4 z^{3}

= 4 z^{3} - 160 z^{2} + 1500 z

genau.

Jetzt davon den Hochpunkt. (Ableiten, Nullsetzen, kennst du?)

Yve-0ne aktiv_icon

18:32 Uhr, 10.09.2009

Ja, das sollte kein Problem werden :-) Ich sag schonmal danke und wenn ich noch Fragen hab, dann melde ich mich noch mal ;-)

ElektroHans aktiv_icon

18:34 Uhr, 10.09.2009

Gut. Kleiner Tipp noch: Am Ende bekommst du zwei Extremwerte. Du hast dann zwei Möglichkeiten herauszufinden, welcher der richtige ist:

1. Schauen, was sie Bedeuten (Ist das Volumen grösser 0?, Wird eine der Seitenlängen kleiner als 0?)

2. Über die zweite Ableitung ausrechnen, welches der Hochpunkt ist.

Yve-0ne aktiv_icon

20:54 Uhr, 10.09.2009

Ich hab das jetzt durchgerechnet und

4104,4

cm³ rausbekommen

0 o

Mag mir jemand sagen, ob das richtig ist?

ElektroHans aktiv_icon

21:01 Uhr, 10.09.2009

Klingt sehr gut.

:-)

Yve-0ne aktiv_icon

21:05 Uhr, 10.09.2009

Da scheint aber irgendwas falsch zu sein

O . o

Ich hab nämlich einen Fehler bei der pq-Formel gemacht xD

ElektroHans aktiv_icon

21:12 Uhr, 10.09.2009

Gemeinheit! Jetzt wird man hier auch noch getestet *gg*

Ne, im Ernst: Ich hab die quadratische gleichung fix über sone webseite gelöst, aber nur auf 3 stellen hinterm komma. mein ergebnis war

4104

. DIe letzte Stelle würde der Rechner aber schlucken, deshalb nahm ich an es wäre richtig.

Also nochmal in Ruhe :-)

4104.4103676767702775000984330864

Denk dran,

p = - . .

. vorne also ein

+ : x 1,2 = + . .

\pm

wurzel

Nicht verzweifeln, jeder vertut sich mal ;-)

Yve-0ne aktiv_icon

21:19 Uhr, 10.09.2009

Ja, das hab ich auch raus :-)

Viiiielen vielen Dank fürs Rechnen und Erklären ;-)

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