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Schnittgerade zwischen 2 Ebenen

Universität / Fachhochschule

Tags: eben, Gerade

bezarre

12:07 Uhr, 07.04.2014

Hallo alle zusammen,

ich habe ein kleines Anliegen bei dem ich eure hilfe benötige.

Ich habe 2 Ebenen und möchte hier die Schnittgerade bestimmen soweit vorhanden.

Gehen wir davon aus, dass die Ebenen in folgender Gleichung vorhanden sind

E 1 : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0

E 2 : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0

Das bedeutet, dass wir 3 Unbekannte und 2 gleichungen haben, was ja aber richtig ist, da eine Gerade ja unendlich ist.

Ich habe aber irgendwie keine Idee, wie ich dieses Gleichungssystem auslösen kann. Ich stehe in letzter Zeit echt ordentlich auf dem Schlauch...

Danke & Gruß
bez

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

12:49 Uhr, 07.04.2014

Hallo,

Die Ebene

E_{1}

ist hier sozusagen gegeben durch den Normalenvektor

(\begin{matrix} a_{1} \\ b_{1} \\ c_{1} \end{matrix})

und das Skalar

d_{1}

. Die Ebene

E_{2}

ist hier sozusagen gegeben durch den Normalenvektor

(\begin{matrix} a_{2} \\ b_{2} \\ c_{2} \end{matrix})

und das Skalar

d_{2}

. Die Schittgerade ist sozusagen orthogonal zu beiden Normalenvektoren. Damit empfiehlt sich als Richtungsvektor für die Gerade das Kreuzprodukt der beiden Normalenvektoren:

(\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

. Sind die beiden Normalenvektoren nicht linear unabhängig gewesen, dann ergibt sich hier der Nullvektor und die beiden Ebenen sind parallel oder fallen aufeinander.

Jetzt muss Du nur noch einen Punkt finden, der in beiden Ebenen liegt.

Das aber allgemein zu lösen wird aufwändiger...

bezarre

13:20 Uhr, 07.04.2014

Hallo,

danke schon mal für deine Antwort. Das hat mir schon etwas geholfen.

Einen Punkt funden der in beiden Ebenen liegt... wie bestimme ich so einen Punkt am besten? Das ist sicherlich komplett abhängig von meinen Ebenen oder?

Gehen wir mal davon aus, dass die Ebenen immer senkrecht sind (also parallel zur Z-Achse) verlaufen. hilft mir das?

Gruß
Bez

funke_61 aktiv_icon

14:48 Uhr, 07.04.2014

"Gehen wir mal davon aus, dass die Ebenen immer senkrecht sind (also parallel zur Z-Achse) verlaufen. hilft mir das?"
Wenn Die beiden Ebenen parallel zur z-Achse sind, wird der aus beiden Normalenvektoren entstehende Richtungsvektor der Schnittgeraden ebenfalls parallel zur z-Achse sein.

Um einen gemeinsamen Punkt beider Ebenen zu finden, kannst Du versuchen, beide Ebenengleichungen

E_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0

E_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0

mit einer der Basisebenen zu schneiden.

Beispiel:
Die durch die

x

-Achse und die

y

-Achse aufgespannte Ebene hat die Gleichung:

z = 0

So vereinfachen sich die Ebenengleichungen zu Geradengleichungen

g_{1}

und

g_{2}

in der "

z = 0

-Ebene" :

g_{1} : a_{1} x + b_{1} y + d_{1} = 0

g_{2} : a_{2} x + b_{2} y + d_{2} = 0

(zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten

x

und

y

;-)
Im allgemeinen Fall (sofern die beiden Geraden nicht parallel bzw. identisch sind), sollte sich der Schnittpunkt beider Geraden (also die "Lösung dieses linearen Gleichungssystems

(x | y)

" ) finden lassen.

Für die "Parameterform der Schnittgeraden beider Ebenen" im

ℝ^{3}

wäre der der gesuchte Punkt also

(x | y | 0)

.
;-)

bezarre

11:45 Uhr, 08.04.2014

Hallo,

oh mann... ich kriege das Gleichungssystem nicht allgemein gelöst...

Ich habe

y = \frac{- b_{2} y - d_{2}}{a_{2}}

x = \frac{- a_{2} x - d_{2}}{b_{2}}

und will diese jetzt einsetzen und dann nach

x

bzw.

y

auflösen.

a_{1} (\frac{- b_{2} y - d_{2}}{a_{2}}) + b_{1} y = - d_{1}

Doch was jetzt... wie kriege ich das

Y

jetzt aus dem Bruch isoliert?

Gruß
bez

funke_61 aktiv_icon

12:06 Uhr, 08.04.2014

Deine Ausdrücke für

x

und

y

solltest Du nochmal überprüfen

. .

.
Ich mach Dir das mal für die allgemeine Lösung für die y-Koordinate der Lösung vor:

g_{1} : a_{1} x + b_{1} y + d_{1} = 0

g_{2} : a_{2} x + b_{2} y + d_{2} = 0

Wenn Du

z . B

. das Einsetzungsverfahren anwendest:
aus

g_{1} : a_{1} x = - b_{1} y - d_{1} \Rightarrow x = \frac{- b_{1} y - d_{1}}{a_{1}}

jetzt in

g_{2}

einsetzen, ergibt:

a_{2} (\frac{- b_{1} y - d_{1}}{a_{1}}) + b_{2} y + d_{2} = 0

Dies ist eine Gleichung mit einer Unbekannten
;-)

funke_61 aktiv_icon

12:19 Uhr, 08.04.2014

"Das

y

aus dem Bruch isolieren":
Ich verwende meine letzte Gleichung: Erstmal den Bruch in zwei Brüche aufteilen:

- \frac{a_{2} b_{1}}{a_{1}} y - \frac{a_{2} d_{1}}{a_{1}} + b_{2} y + d_{2} = 0

ordnen:

b_{2} y - \frac{a_{2} b_{1}}{a_{1}} y = \frac{a_{2} d_{1}}{a_{1}} - d_{2}

y

ausklammern:

y (b_{2} - \frac{a_{2} b_{1}}{a_{1}}) = \frac{a_{2} d_{1}}{a_{1}} - d_{2}

y = \frac{\frac{a_{2}}{a_{1}} d_{1} - d_{2}}{b_{2} - \frac{a_{2}}{a_{1}} b_{1}}

sofern ich mich nicht verrechnet habe.
opps, habe es gerade noch verbessert

. .

.
und das Ergebnis jetzt noch etwas schöner gemacht

. .

.

Jetzt bist Du dran, die Lösung für

x

zu finden.
;-)

bezarre

12:31 Uhr, 08.04.2014

Danke :-)

funke_61 aktiv_icon

12:41 Uhr, 08.04.2014

Mein Ergebnis für

x

ist:

x = \frac{\frac{b_{2}}{b_{1}} d_{1} - d_{2}}{a_{2} - a_{1} \frac{b_{2}}{b_{1}}}

;-)

bezarre

15:35 Uhr, 08.04.2014

Hallo,

jetzt habe ich doch noch eine Frage...

Für Ebenen die beide Parallel zur Z-Achse verlaufen passt das gut.

Aber was mache ich jetzt, wenn ich eine Ebene parallel zur Z-Achse und eine Ebene parallel zur XY Ebene habe?

Ich habe ja dann:

E_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0

(mit

c_{1} = 0)

E_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0

(mit

a_{2} = 0

und

b_{2} = 0)

Gruß
bez

funke_61 aktiv_icon

16:30 Uhr, 08.04.2014

In diesem Fall bleibt doch folgendes Gleichungssystem:

E_{1} : a_{1} x + b_{1} y + d_{1} = 0

E_{2} : c_{2} z + d_{2} = 0

damit ist

E_{2} : z = - \frac{d_{2}}{c_{2}}

Übrigens, ein Normalenvektor dieser Ebene ist zB.

\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

E_{1}

lässt sich zB. umformen in:

y = - \frac{a_{1}}{b_{1}} x - \frac{d_{1}}{b_{1}}

Wenn Du Dich an Deine Schulzeit erinnerst, entspricht dies einer Geradengleichung

y = m x + t

mit
Steigung:

m = - \frac{a_{1}}{b_{1}}

und
y-Achsenabschnitt:

t = - \frac{d_{1}}{b_{1}}

Da die Schnittgerade von

E_{1}

und

E_{2}

auch in der Ebene

E_{2} : z = - \frac{d_{2}}{c_{2}}

liegen muss, ist sie so eigentlich schon im Raum definiert.

Wenn Du nun wieder einen Punkt der Schnittgerade suchst (um nach dem Dir bisher bekannten "Schema" vorzugehen):
Nimm zB. den Punkt bei

x = 0,

dort ist der y-Achsenabschnitt

y = - \frac{d_{1}}{b_{1}} :

Dieser Punkt

P

der Schnittgerade hat die Koordinaten

P (0 | - \frac{d_{1}}{b_{1}} | - \frac{d_{2}}{c_{2}})

Natürlich gibt es für diesen Fall auch noch elegantere Methoden die Schnittgerade in Parameterform aufzustellen. Mit etwas nachdenken kommst Du vieleicht nun selber drauf.
;-)

bezarre

12:22 Uhr, 09.04.2014

Hallo Funke,

puuuhhhh... jetzt komme ich aber echt in Probleme.

Ich gebe dir mal meine beiden Ebenen.

E 1 : - 61,04356 x + 1,820226 y = - 127,7672

E 2 : 28,8436 z = - 38,27395

Was genau soll ich mit denen jetzt anstellen?

X = 0

ist in meinen Augen keine vernünftige Lösung... aber könnte man hier nicht mit

y = 0

es versuchen?

Falls du dich über die Werte wunderst. Die wurden mir von meinem Programm erstellt ;-)

Danke & Gruß
Bez

funke_61 aktiv_icon

10:34 Uhr, 10.04.2014

"Was genau soll ich mit denen jetzt anstellen?"
Na einfach mal den oben beschrieben Weg mit diesen Parmetern nachvollzienen

. .

.

"X=0 ist in meinen Augen keine vernünftige Lösung..."
Warum sollte das hier nicht funktionieren?

"... aber könnte man hier nicht mit

y = 0

es versuchen?"
könnte man auch machen, vieleicht versuchst Du es ja wirklich mal selbst ;-)
Deshalb zeig ich es hier nochmal mit den angegebenen Parametern auf bereits beschriebenem Weg:

Damit die Vorzeichen der Paramteter

d_{1}

und

d_{2}

stimmen, hier nochmal die oben verwendete Grundform deiner zuletzt gegebenen Ebenengleichungen:

E_{1} : - 61,04356 x + 1,820226 y + 127,7672 = 0

E_{2} : 28,8436 z + 38,27395 = 0

Also, aus

E_{2}

ergibt sich durch einfache Umformung

z = - \frac{38,27395}{28,8436}

Damit ist ihr "vereinfachter" Normalenvektor (um Rechnerei zu sparen):

\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Der Normalenvektor

\vec{n_{1}} = (\begin{matrix} - 61,04356 \\ 1,820226 \\ 0 \end{matrix})

lässt sich aus der Ebenengleichung

E_{1}

ablesen.

\vec{n_{1}} \times \vec{n_{2}} = (\begin{matrix} - 61,04356 \\ 1,820226 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1,820226 - 0 \\ 0 - (- 61,04356) \\ 0 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1,820226 \\ 61,04356 \\ 0 \end{matrix})

Dies wäre also der Richtungsvektor deiner Schnittgeraden zwischen

E_{1}

und

E_{2}

Nun suchen wir noch einen Punkt der Schnittgerade:
Warum sollte es nicht möglich sein, in

E_{1}

x

gleich 0 "

zu setzen?

E_{1} (x = 0) :

- 61,04356 \cdot 0 + 1,820226 y + 127,7672 = 0

\Rightarrow 1,820226 y = - 127,7672

\Rightarrow y = - \frac{127,7672}{1,820226}

Also sollte der Punkt

(0 | - \frac{127,7672}{1,820226} | - \frac{38,27395}{28,8436})

ein Punkt der Schnittgeraden sein.
(Die Theorie dazu habe ich Dir oben schon versucht, zu zeigen)

Damit wäre eine mögliche Parameterform der gesuchten Schnittgerade:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ - \frac{127,7672}{1,820226} \\ - \frac{38,27395}{28,8436} \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1,820226 \\ 61,04356 \\ 0 \end{matrix})

Die Brüche habe ich absichtlich stehen gelassen, damit Du die Rechnung besser nachvollziehen kannst
;-)

bezarre

15:47 Uhr, 10.04.2014

Hallo,

danke für eine Mühe... ich bin auch selber dabei das alles zu rechnen. Keine Angst ;-)

Eine Frage habe ich jetzt noch.

Wenn ich jetzt diese Schnittgeradegleichung habe. Kann ich dann auch

z . B

. bestimmen, welche Koorinaten die Gerade an der Stelle

Y = 0

hat?

Gruß
bez

funke_61 aktiv_icon

19:11 Uhr, 10.04.2014

Ja klar.
Setze im allgemeinen Fall in der Geradengleichung

y = 0 :

Die "Geradengleichung in Parameterform" ist eine Vektorgleichung und besteht aus drei einzelnen Gleichungen mit dem Parameter

λ

(für jede Komponente eine Gleichung). Jedes einzelne

λ

steht für genau einen Punkt der Gerade.
Der Vektor

\vec{x}

besteht aus den Komponeneten:

\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

Statt dem Parameter

λ

"suche" nun genau den Parameter "

λ_{0}

" der dazu fürhrt, dass die y-Koordinate zu " 0 " wird. Die zweite Zeile (die y-Zeile) der Parameterform liefert so:

0 = - \frac{127,7672}{1,820226} + λ_{0} \cdot 61,04356

Daraus nun

λ_{0}

bestimmen, welches diese Gleichung erfüllt. (Zur Kontrolle:

λ_{0} = \frac{127,7672}{1,820226 \cdot 61,04356})

λ_{0}

nun in die erste Zeile der Parametergleichung einsetzen. Dies liefert die dazu passende x-Koordinate. (Zur Kontrolle:

x = \frac{127,7672}{61,04356})

Wie vorhin wissen wir schon, dass die z-Kordinate aller Punkte der Schnittgerade

z = - \frac{38,27395}{28,8436}

ist. Somit hättest Du alle drei Koordinaten des gesuchten Punktes.

Hier in diesem Spezialfall ist es aber wesentlich leichter, wieder in der Ebenengleichung

E_{1}

anzufangen:

E 1 : - 61,04356 x + 1,820226 y + 127,7672 = 0

\Rightarrow E_{1} (y = 0) - 61,04356 x + 127,7672 = 0

\Rightarrow x = \frac{- 127,7672}{- 61,04356}

\Rightarrow x = \frac{127,7672}{61,04356}

Wie vorhin wissen wir schon dass die z-Kordinate aller Punkte der Schnittgerade

z = - \frac{38,27395}{28,8436}

ist.
Damit haben wir den gesuchten Punkt

(\frac{127,7672}{61,04356} | 0 | - \frac{38,27395}{28,8436})

wesentlich leichter gefunden.

Daneben ist die Bedingung "

y = 0

" nichts anderes, als die Gleichung der "x-z-Basisbene", also genau die Ebene, welche durch die x-Achse und die z-Achse aufgespannt wird.
Deine beiden Ausgangs-Ebenengleichungen kannst Du (wenn eine entsprechende Bedingung gilt) immer um eine Unbekannte verringern. Dies sollte die Sache wesentlich leichter machen.
;-)

bezarre

10:00 Uhr, 12.04.2014

Danke :-)

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