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Schnittpunkt/winkel zwischen Gerade und Ebene

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Gerade schneidet Ebene

Tags: Ebene, Gerade, schneidet

davechristopher aktiv_icon

11:54 Uhr, 09.02.2012

Hallo zusammen,

könnt ihr mir sagen ob ich bei dieser Aufgabe richtig vorgegangen bin?

Gesucht: Schnittpunkt und Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Gegeben:

E :

x1-x2-Ebene

g : A (- 2,4,6)

und

B (4, - 6,2)

1. Richtungsvektor AB

\to

bilden

AB=

(\begin{matrix} 4 \\ - 6 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ - 4 \end{matrix})

2. Die Gerade definieren

g : x \to = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + Λ (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ - 4 \end{matrix})

3. Die Ebene definieren

x1x2-Ebene

(x 3 = 0)

E : x \to = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + Λ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

4. Schnittpunkte berechnen, in dem Ebene und Gerade gleichgesetzt werden

(\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + Λ (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + Λ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

5. Gleichungssystem aufstellen um

Λ

zu berechnen

I

- 2 + 5 Λ = Λ 1

4 - 10 Λ = μ 1

III

6 - 4 Λ = 0

6 = 4 Λ

1,5 = Λ

6. In Gerade einsetzen für Schnittpunkt:

S = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) + 1,5 (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ - 11 \\ 0 \end{matrix})

S = (7, - 11,0)

7. Normalenvektor der Ebene bilden durch Kreuzprodukt der Spannvektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) X (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

8. Winkel durch Skalarprodukt

Skalarprodukt:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 10 \\ - 4 \end{matrix}) = (= 0 \cdot 6) + (0 \cdot 10) + (1 \cdot (- 4)) = - 4

Beträge:
sqrt(0²+0²+1²)=1
sqrt(6²+(-10²)+(-4)²)=12,33

Winkel:

cos α = (\frac{- 4}{1 \cdot 12,33}) = - 0,3244

{cos}^{- 1}

(-0,3244)=108°

ALTERNATIVE Winkel-Berechnung:

1. Vektor AS berechnen:
AS=

(\begin{matrix} 7 \\ - 11 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ - 15 \\ - 6 \end{matrix})

Betrag: sqrt(9²+0(-15)²+(-6)²)=

18,49

2. Punkt

O

finden, welcher auf der selben Höhe wied er Schnittpunkt liegt:

(\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

= (\begin{matrix} 7 \\ - 11 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ - 15 \\ 0 \end{matrix})

Betrag: sqrt(5²+0(-15)²+0²)=

15,811

sin α

=(Gegenkathete / Hypothenuse)

sin α = (\frac{15,811}{18,49})) = 0,85

{sin}^{- 1} (0,85) =

58,21°

Aber warum bekomme ich hier einen anderen Winkel als bei meiner ersten Lösung?!
Das müsste doch so auch funktionieren?

Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?

: - (

Ich freue mich über jede Antwort

Viele Grüße
David

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Ebene - Ebene

Abstand Punkt Ebene
Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

12:00 Uhr, 09.02.2012

...bei deiner 1. Rechnung verwendest du für die Gerade und die Ebene den selben Parameter

Λ

. Dies ist hier nicht zulässig.

;-)

davechristopher aktiv_icon

12:04 Uhr, 09.02.2012

Da hast du Recht, Sorry!

die Ebene müsste so lauten:

E : x = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + V (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

statt

Λ

der Parameter

V

Aber das mit den Winkeln verstehe ich trotzdem nicht...

Edddi aktiv_icon

12:29 Uhr, 09.02.2012

\vec{O S} = (\begin{matrix} 7 \\ - 11 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ - 15 \\ 0 \end{matrix})

...vielleicht hapert's ja schon daran, kann aber nach dem Mittag nochmal rüberschaun...

;-)

Edddi aktiv_icon

12:37 Uhr, 09.02.2012

...japp, dann passt's, es kommen ca. 71° raus. Dies Passt zum Komplemenärwinkel bzw. zum Winkel, wenn du den Richtungsvektor ganau anderherum definiert hättest.

;-)

davechristopher aktiv_icon

12:39 Uhr, 09.02.2012

Das verstehe ich nicht ganz, müsste da dann nicht genauso 108° herauskommen?

Edddi aktiv_icon

12:53 Uhr, 09.02.2012

...hast du vorigen Beitrag nicht richtig durchgelesen?

Definiere mal deinen Richtungsvektor in die andere Richtung!

Dann bekommst du den selben Winkel wie in deinem 2. Verfahren mit richtigen

\vec{O S}

.

Mit deinem Sinus im 2. Verfahren

(\vec{O S}

liegt ja parall. zu x-y-Ebene) bestimmst du ja ebenfalls den Winkel zw. Gerade und Ebenen-Normale.

Nimm also von beiden den Kompl.-winkel und dann hast du auch den Winkel zur Ebene.

Oder bestimme mittels Richtungsvektor die Normale zur Z-Achse und berechne dann den Winkel mit deinem Richtungsvektor (aber richtig herum)

;-)

Edddi aktiv_icon

14:13 Uhr, 09.02.2012

...Richtungsvektor der Geraden:

(\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 4 \end{matrix})

...Abbildung auf X-Y-Ebene (Normal zu

z) :

(\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})

Winkel des Richtungsvektors auf Normale:

cos (φ) = \frac{(\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 4 \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 0 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 4 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - 6 \\ 10 \\ 0 \end{matrix}) |}

cos (φ) = \frac{36 + 100}{\sqrt{152} \cdot \sqrt{136}}

φ = 18,9

°

Somit allgemein für

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

zu X-Y-Ebene:

cos (φ) = \frac{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) ⋆ (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) |}

cos (φ) = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

cos (φ) = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2}}}}

;-)

davechristopher aktiv_icon

16:23 Uhr, 09.02.2012

Jetzt ist der Groschen gefallen! Vielen Dank für deine Mühe :-)

Viele Grüße
David

972098

972051

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