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Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade im R4
Universität / Fachhochschule
Skalarprodukte
Tags: Analytische Geometrie, Ebene, Gerade
 
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Mit den Vektorräumen tu ich mich ein bisschen schwer, vielleicht kann ja mal jemand helfen. Ich habe die Ebene E, die Gerade g und den Schnittpunkt der beiden, sowie zwei auf E senkrechte Vektoren:
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Abstand Punkt Ebene Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie Lagebeziehung Ebene - Ebene Abstand Punkt Ebene Ebene Geometrie - Einführung Ebenen in Normalenform Ebenen in Parameterform Geraden im Raum Grundbegriffe der ebenen Geometrie |
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Hallo seddto wie kommst du denn darauf, dass die beiden Winkel gleich sein sollen? Diese beiden zur Ebene senkrechten Vektoren haben doch völlig unterschiedliche Richtungen! (Vergleich im R3: die x-Achse steht senkrecht zur z-Achse, die y-Achse steht ebenfalls senkrecht zur z-Achse. Trotzdem schliessen beide (also x- und y-Achse) nicht mit einer Geraden, welche die z-Achse schneidet, den gleichen Winkel ein) Du solltest so vorgehen: Verschiebe mal g und E parallel ind en Nullpunkt (dadurch werden sowohl die verschobene Gerade als auch die verschobene Ebene zu Unterräumen des R4). Die Stützpunkte sind einfach (0,0,0,0). Die Winkelbeziehungen ändern sich dadurch ja nicht, das heisst, der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene bleiben erhalten. Um den Schnittwinkel zu berechnen, machst du einfach eine senkrechte Projektion des Geraden-Richtungsvektors auf die (verschobene) Ebene. Nach meinen Berechnungen ist diese Projektion folgender Vektor: (2,3,0,0). Nun berechnest du einfach den Winkel zwischen diesem Vektor und dem Geraden-Richtungsvektor. Damit komme ich für cos(alpha) auf 17/(5*Wurzel(26)), und für alpha auf 48,12°. Alles klar? Gruss Paul |
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Hi Paulus! Danke für die schnelle Antwort. Ich versuche das mal wiederzugeben, so wie ich es verstanden habe: Ich ersetze also bei der Ebene E den Punkt (1,1,1,2) einfach durch (0,0,0,0) und bei der Geraden g ersetze ich den Punkt (-6,2-3,5) durch (0,0,0,0) - somit habe ich also Ebene und Gerade in den Ursprung verschoben - richtig? Was ich noch nicht ganz verstanden habe ist die Projektion, sowas haben wir noch nicht gemacht. Kannst du vielleicht nochmal kurz erläutern, wie du auf den Vektor (2,3,0,0) als Projektion von g in der Ebene E gekommen bist? Danke & Lg :) |
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Hallo seddto im Folgenden verstehe ich unter E die Ebene durch den Nullpunkt, und auch g die Gerade durch den Nullpunkt. Mache die Überlegungen bitte mit deiner Tischplatte als E und deinem Kugelschreiber k als Richtungsvektor für g, im Ursprung angeheftet. Um den Winkel zwischen g (Kugelschreiber) und E (Tischplatte) zu berechnen, hast du g senkrecht auch die Ebene zu projizieren. Deine Tischlampe, genau senkrecht über dem Kugelschreiber aufgestellt, tut das: sie wirft einen Schatten deines Kugelschreibers auf die Tischplatte. Der Winkel zwischen Kugelschreiber und Schatten ist dann auch der Winkel zwischen Kugelschreiber und Tischplatte. Wie berechnte man aber den Schatten der Kugelschreiberspitze? Nun, wenn du als Basis deiner Ebene ein Orthonormalsystem hast, sagen wir e1 und e2 (e1 und e2 haben also die Länge 1 uns stehen senkrecht aufeinander, wie gewohnt in einem Kartesischen Koordinatensystem), dann kannst du für die erste Koordinate einfach das Skalarprodukt aus e1 und Kugelschreiber berechnen, und für die zweite Koordinate einfach Skalarprodukt aus e2 und Kugelschreiber. Es gilt also: Koordinaten von k (Kugelschreiberspitze) auf die Ebene projiziert = (e1*k, e2*k). Oder anders geschrieben; Projektion von k auf die Ebene = (e1*k)e1 + (e2*k)e2. Das funktioniert aber nur, wenn e1 und e2 eine Orthonormalbasis bilden. Darum ist die erste Aufgabe, aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene E eine Orthonormalbasis zu erstellen. Das Orthonormalisierungsverfahren von E.Schmidt ist ein dazu geeignetes Verfahren. Damit habe ich als Basis für E erhalten (falls du das nicht kannst, werde ich es dir dann auch noch erklären) liefert: e1 = 1/Wurzeel(10) * (1,-3,0,0) Das ist der erste Ebenenrichtungsvektor, normiert. e2 = 1/Wurzel(10) * (3,1,0,0) Dieser Vektor ist normiert, orthogogal zu e1 und liegt in E. e1 und e2 bilden also eine solche Orthonormalbasis für E. Nun ist dein Kugelschreiber k :(4,3,-4,3). e1*k = -13/Wurzel(10) e2*k = 15/Wurzel(10) Damit habe ich die gesuchten Koordinaten der Projektion gefunden. Allerdins stelle ich jetzt gerade auch fest, dass ich mich verrechnet hatte. Jetzt erhalte ich, Rechnungsfehler vorbehalten, für die Projektion (16/5,27/5,0,0) Alles klar? Gruss Paul |
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Ah, jetzt seh ich das ganze schon ein bisschen klarer - danke für die Hilfe! Ich normiere also die beiden Vektoren (1,-3,0,0) und (3,1,0,0) erstmal zu 1 (Einheitsvektor) in dem ich ihre Norm (Wurzel(10)) durch Wurzel(10) teile. Also: 1/Wurzel(10) * (1,-3,0,0)=(1/Wurzel(10),-3/Wurzel(10),0,0)= e1 1/Wurzel(10) * (3,1,0,0)=(3/wurzel(10), 1/Wurzel(10),0,0) = e2 Nun kommt das Skalarprodukt von e1*k und e2*k ins Spiel. Also: e1*k=1/Wurzel(10)*4 + (-3)/Wurzel(10)*3= - Wurzel(10)/2 (Kann das stimmen? Du hattest was anderes raus...) e2*k=3/Wurzel(10)*4 + 1/Wurzel(10) * 3 = 3* Wurzel(10)/2 Nun habe ich die Koordinaten der Projektion in der Ebene erhalten, richtig? - aber was ich nicht ganz verstehe: wie bist du nun auf die 16/5 und 27/5 gekommen? |
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Hallo seddto ich kann deine Rechenkünste nicht nachvollziehen! Nach mir gilt diese Rechnung: e1*k = 1/Wurzel(10)*4 + (-3)/Wurzel(10)*3 = 4/Wurzel(10) + (-9)/Wurzel(10) = -13/Wurzel(10) e2*k = 3/Wurzel(10)*4 + 1/Wurzel(10)*3 = 12/Wurzel(10) + 3/Wurzel(10) = 15/Wurzel(10) Nachher muss man aber noch rechnen: -13/Wurzel(10)*e1 + 15/Wurzel(10)*e2, und das ergibt nach meiner Rechnung das oben angegebene Resultat. Alles klar? Gruss Paul |
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Hallo seddto ah, jetzt verstehe ich dein Problem: die berechneten "Koordinaten", indem man nur die Skalarprodukte bildet, wären die Koordinaten, wenn man e1 und e2 als Basis beibehalten würde. Wir lassen aber lieber als Koordinaten die kanonischen Koordinaten: (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) und (0,0,0,1) Aus diesem Grunde muss man dann die letzte Rechnung machen. Gruss Paul |
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ohjee, das hab ich immer noch nicht ganz kapiert: -13/Wurzel(10)*e1 + 15/Wurzel(10)*e2 Du hast zum Schluss diese Rechnung gemacht, aber wie kommst du damit auf 16/5 und 27/5? |
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Ohjee, das hab ich glaub ich immer noch nicht so ganz kapiert: Due machst zum Schluss also folgende Rechnung: -13/Wurzel(10)*e1 + 15/Wurzel(10)*e2 Aber wie kommst du damit zu dem Ergebnis 16/5 und 27/5? |
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Hallo seddto Mache mal folgendes: Zeichne auf ein Blatt Papier ein Koordinatensystem, mit gossen Einheiten. Also eine Einheit etwa 5 cm. (W3 bedeutet Wurzel(3), um Platz zu sparen; W3/2 also Wurzel(3)/2 ) Dann zeichnest du den Vektor (W3/2, 1/2) und bezeichnest ihn mit e1. Dann auch noch den Vektor (-1/2, W3/2) und bezeichnest ihn mit e2. e1 und e2 stehen senkrecht aufeinander und sind normiert. Nun nimmst du an, es gäbe noch eine z-Achse. Dann ist e1 = (W3/2, 1/2, 0) und e2 = (-1/2, W3/2, 0) Nun stellst du dir noch den Punkt (0,1,1) vor und projizierst den Senkrecht auf die xy-Ebene. Die Projektion hat dann offensichtlich die Koordinaten (0,1,0). Mit der Bezeichnung k = (0,1,1) (dein Kugelschreiber) gilt nun: k*e1 (Skalarprodukt) = 1/2 k*e2 (Skalarprodukt) = W3/2 Siehst du, diese beiden Koordinaten sind NICHT die erwarteten. Sie gelten bezüglich e1 und e2 als Basis. Darum ist zu rechnen: 1/2 * e1 + W3/2 * e2 = 1/2 * (W3/2, 1/2, 0) + W3/2 * (-1/2, W3/2, 0) = (W3/4, 1/4, 0) + (-W3/4, 3/4, 0) = (0,1,0) Das sind dann eben die Koordinaten bezüglich deiner x-, y- und z-Achse. Bei der Aufgabe war das entsprechend: -13/W10 * (1/W10, -3/W10, 0, 0) + 15/W10 * (3/W10, 1/W10, 0, 0) = (-13/10, 39/10, 0, 0) + (45/10, 15/10, 0, 0) = (32/10, 54/10, 0, 0) = (16/5, 27/5, 0, 0) Konntest du das nachvollziehen? Gruss Paul |
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ja, jetzt habe ich es kapiert! Ich hab erstmal gezeichnet und dann gerechnet und es scheint tatsächlich zu funktionieren. Ich habe nun einen Winkel von genau 45° rausbekommen. Ich glaube du hattest dich bei e1 (-13/W10) und e2 (15/W10) aber wirklich verrechnet. Ich habs 3 mal nachgerechnet und komme immer auf mein Ergebnis. Und mit (-13/W10) und (15/W10) kommt auch nicht ein so schön runder Wert raus... kann das sein? |
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Danke für die Hilfe, Paul! Ich habe es erstmal gezeichnet und dann gerechnet und denke, dass ich es jetzt verstanden habe. Allerdings bin ich immer noch der Meinung, dass du dich bei e1 und e2 verrechnet hast. Habe gerade noch dreimal nachgerechnet und komme da immer auf meine Werte - kann das sein? Mit meinem Werten hab ich einen Schnittwinkel von genau 45° raus, ist auch vom Ergebnis her irgendwie runder... lg seddto |
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Hallo seddto
das mit dem Verrechnen kann schon sein, da ich prinzipiell nie mit Hilfe eines Rechners rechne.
Ich sehe allerdings auf die Schnelle nicht, wo mein Fehler liegt. Ich werde es bei Gelegenheit einmal nachrechnen.
Wichtig ist aber doch nur, dass ich dir das Ganze einigermassen verständlich erklären konnte.
Ich freue mich jedenfalls, dass du meinst, es verstanden zu haben.
Liebe Grüsse und weiterhin viel Spass am Studium
Paul |
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Hallo seddto ja, wie du etwas weiter oben sehen kannst, habe ich micht tatsächlich etwas veerechnet. Ich habe gerechnet 4-9 = -13, statt 4-9=-5 Wenn man das dann so einsetzt, kommt man tatsächlich auf dein Resultat. Und dann hatte ich noch ein Brett vor dem Kopf: Die (verschobene) Ebene E ist ja gerade die x1 -x1 - Ebene, so dass man als e1 ebensogut hätte nehmen könnenn: (1,0,0,0) und als e2 (0,1,0,0). Dann wäre man viel schneller auf die Koordinaten (4,3,0,0) der Projektion des Richtungsvektors gekommen. Trotzdem war das sicher eine gute Übung, um mit anderen Basisvektoren an Stelle der Kanonischen Basis zu rechnen. Es hat nämlich den allgemeinen Fall berücksichtigt, also ohne Berücksichtigung der speziellen Lage von E. D.h. es hätte auch funktioniert, wenn E schief in der 4-dimensionalen Gegend gehangen hätte! Alles Gute noch! Paul |
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