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Seitenlänge gesucht im Dreieck

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Sonstiges

Tags: Dreieck, Gleichungen, Höhe, Seitenlänge, Sonstiges

Leopold1 aktiv_icon

15:42 Uhr, 08.11.2010

Hallo liebes Forum,
könnt ihr mir bei folgender Aufgabe weiterhelfen?

Es liegt ein Dreieck mit der Seitenlänge a und der darauf senkrecht stehenden Höhe

h

vor. Wenn die Seite a um 1cm und die Höhe

h

um 1 cm verlängert werden, vergrößert sich der Flächeninhalt des Dreiecks um 5cm². Wird stattdessen die Höhe

h

um 2cm verlängert und gleichzeitig die Seitenlänge a um 1cm verkürzt, dann vergrößert sich der Flächeninhalt um 3,5cm². Wie lang sind a und h?

Zunächst. Der Flächeninhalt eines Dreiecks:

0,5 \cdot a \cdot h = A

Zu mehr komme ich hier nicht. Hoffe ihr könnt mir helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Flächenmessung
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

sarose

15:57 Uhr, 08.11.2010

Das ganze führt auf ein Gleichungssystem. Betrachten wir zunächst mal den ersten Fall.

Gegeben ist ein Dreieck mit Seitenlänge a und Höhe h. Das zeichnest du dir am besten mal auf. Wie man den Flächeninhalt A dieses Dreiecks ausrechnen kann, hast du ja schon herausgefunden.

Anschließend hast du die Information bekommen, dass die Seitenlänge nun

a + 1

ist und die neue Höhe

h + 1

ist. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist gegeben mit

A + 5

Insgesamt gilt die Gleichung

A + 5 = \frac{1}{2} (a + 1) (h + 1)

Kommen wir nun zum nächsten Dreieck. Hier verkürzt sich die Seitenlänge um 1; in mathematisch drückt man dies durch

a - 1

aus. Die Höhe dieses Dreiecks lautet

h + 1

. Der Flächeninhalt vergrößert sich gegenüber des des ersten Dreiecks um 3.5; mathematisch

A + 3.5

. Man erhält die Gleichung

A + 3.5 = \frac{1}{2} (a - 1) (h + 2)

mmmh,... irgendwie fehlt mir jetzt eine dritte Angabe.

Leopold1 aktiv_icon

16:50 Uhr, 09.11.2010

Danke für die Hilfe, habe es nun versucht und weiter komme ich auch nicht. Hat denn noch jemand Ideen?

mcmeth aktiv_icon

17:13 Uhr, 09.11.2010

zu sarose:
man weiß noch, dass

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h

somit hat man 3 gleichungen für 3 unbekannte - das GS ist also eindeutig lösbar

BeeGee aktiv_icon

17:17 Uhr, 09.11.2010

Sarose ist schon auf dem richtigen Weg mit dem Gleichungssystem:

(1)

2 \cdot A = a \cdot h

(ich habe die 2 mal auf die linke Seite gebracht)

(2)

2 \cdot (A + 5) = (a + 1) \cdot (h + 1)

(3)

2 \cdot (A + 3,5) = (a - 1) \cdot (h + 2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(2)

2 A + 10 =

+ a + h + 1

(3)

2 A + 7 =

+ 2 a - h - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

jetzt aus (1)

a \cdot h = 2 \cdot A

einsetzen
(2)

2 A + 10 = 2 A + a + h + 1

(3)

2 A + 7 = 2 A + 2 a - h - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

jeweils minus

2 A

(2)

10 = a + h + 1

(3)

7 = 2 a - h - 2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + (3)

17 = 3 a - 1

\to a = 6

Eingesetzt in

(2) :

10 = 6 + h + 1

\to h = 3

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