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Senkrechte Ebene durch 2 Punkte

Universität / Fachhochschule

Tags: eben, Punkt

bezarre

10:58 Uhr, 07.03.2014

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe und stehe irgendwie total auf dem Schlauch.

Ich soll eine senkrechte Ebene durch diese 2 Punkte aufspannen:

P 1 = (\begin{matrix} - 16 \\ 5 \\ 78 \end{matrix})

P 2 = (\begin{matrix} 51 \\ 6 \\ 61 \end{matrix})

Kann mir jemand einen Tip geben? Irgendwie macht das gerade bei mir überhaupt kein Klick und ich gucke schon länger auf diese Aufgabe.

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

11:00 Uhr, 07.03.2014

Hallo,

wenn Du den Vektor zwischen diesen beiden Punkten aufstellst, hast Du damit schon mal den Normalenvektor einer Ebene, die Senkrecht zur Gerade ist, die durch die Punkte

P_{1}

und

P_{2}

"geht".

bezarre

11:07 Uhr, 07.03.2014

Hallo,

da ist was dran ;-)

Also mein Vektor wäre dann:

P 1 P 2 = (\begin{matrix} 67 \\ 0 \\ 17 \end{matrix})

Sehe ich das richtig?

Und damit wäre meine Ebene dann doch:

E : P 1 P 2 \cdot x - P 1 = 0

oder?

Gruß

funke_61 aktiv_icon

11:12 Uhr, 07.03.2014

Als Vektor bekomme ich

\vec{P_{1} P_{2}} = \vec{p_{2}} - \vec{p_{1}} = (\begin{matrix} 67 \\ 1 \\ - 17 \end{matrix})

sorry, habe die beiden Indizes gerade noch vertauscht, jetzt sollte es korrekt sein

. .

.
;-)

bezarre

11:16 Uhr, 07.03.2014

Da hast du recht... da hab ich irgendwie was verdreht.

Und die Ebene wäre dann:

E : (\begin{matrix} 67 \\ 1 \\ - 17 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - (\begin{matrix} - 16 \\ 5 \\ 78 \end{matrix}) = 0

ist das richtig?

funke_61 aktiv_icon

11:22 Uhr, 07.03.2014

Hm, ich glaube, der ersten Summand Deiner Gleichung ist ein Skalar und und der zweite Summand Deiner Gleichung ist ein Vektor

. .

.

Die Normalenform habe ich immer so aufgestellt:

(\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

Das führt bei mir mit

\vec{p} = \vec{p_{2}}

(\vec{x} - (\begin{matrix} 51 \\ 6 \\ 61 \end{matrix})) \cdot (\begin{matrix} 67 \\ 1 \\ - 17 \end{matrix}) = 0

funke_61 aktiv_icon

11:29 Uhr, 07.03.2014

ich bin jetzt mal für eine Stunde beim Essen

. .

bezarre

11:41 Uhr, 07.03.2014

Hallo und guten Hunger,

warum

\vec{P 2}

und nicht

\vec{P 1}

funke_61 aktiv_icon

13:54 Uhr, 07.03.2014

geht genauso, es gibt ja unzählige Ebenen, die senkrecht zu dieser Geraden sind

. .

.
und gefragt ist nur nach "einer Ebene" :-)

bezarre

14:32 Uhr, 07.03.2014

Danke :-)

Werner-Salomon aktiv_icon

17:26 Uhr, 07.03.2014

bezarre fragte: "Ich soll eine senkrechte Ebene durch diese 2 Punkte aufspannen: ... 2 Punkte"
Ich muss gestehen, ich habe diese Frage völlig anders verstanden. Meine erste Intention war, dass nach einer Ebene gesucht wird, die durch diese zwei Punkte geht und die senkrecht (im Raum!) steht - also parallel zur Z-Achse ausgerichtet ist. Wenn man gemeinhin mal davon ausgeht, dass Z nach 'oben' zeigt.

Das wäre natürlich eine ganz andere Ebene, und sie wäre im Gegensatz zur Lösung von funke_61 eindeutig:

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 67 \\ 0 \end{array}) \cdot \vec{e} = 351

@bezarre: vielleicht bist Du so nett und berichtest uns irgendwann, wie die Aufgabe gemeint war.

Gruß
Werner

bezarre

18:01 Uhr, 07.03.2014

Hallo,

Ja genau so war das Ganze meiner Meinung nach gemeint.

Wie hast du den Vektor aufgestellt?

Gruß

Werner-Salomon aktiv_icon

20:31 Uhr, 07.03.2014

Hallo bezarre,

Der Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene. Dieser steht senkrecht auf der Verbindung der beiden Punkte und natürlich senkrecht auf

\vec{e_{Z}}

- also den Einheitsvektor in Z-Richtung. Das Kreuzprodukt von beiden ist folglich ein Normalenvektor der Ebene.
Den Verbindungs- bzw. Differenzvektor habt Ihr oben schon bestimmt - also:

(\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \times (\begin{array}{rcl} 67 \\ 1 \\ 17 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} - 1 \\ 67 \\ 0 \end{array})

jetzt noch einen der Punkte skalar mit dem Normalenvektor multiplizieren - welcher ist egal, es muss immer dasselbe raus kommen:

(\begin{array}{rcl} - 1 \\ 67 \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{rcl} - 16 \\ 5 \\ 78 \end{array}) = - 1 \cdot - 16 + 67 \cdot 5 + 0 \cdot 78 = 351

Gruß
Werner

bezarre

19:22 Uhr, 09.03.2014

Danke :-)

bezarre

19:22 Uhr, 09.03.2014

Danke :-)

bezarre

11:54 Uhr, 19.05.2014

Hallo,

ich habe jetzt mochmal eine Rückfrage.

Wenn ich nun

P_{1} P_{2}

bestimme kriege ich doch andere Werte raus, als wenn ich

P_{2} P_{1}

errechne?

Ich habe das Gefühl, dass das problematisch ist oder?

Gruß
bez

Werner-Salomon aktiv_icon

23:02 Uhr, 20.05.2014

Nein - das sollte keinen Unterschied machen. Allerdings habe ich Deinen Differenzvektor übernommen und der enthält einen Vorzeichenfehler bei der Z-Koordinate.

Die hat aber keinen Einfluss auf das Ergebnis. Was hast Du denn für ein Ergebnis?

Gruß
Werner

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