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Stammfunktion Potenzreihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

 
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anonymous

anonymous

14:52 Uhr, 28.04.2016

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Hallo zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe:

f(z)=∑n=0∞anzn ist eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0.
Behauptung: Dann ist F(z)=∑n=0∞ann+1zn+1 Stammfunktion von f auf DR(0).

Meine Idee war nun, mit dem Satz über die gliedweise Integration einer Potenzreihe zu argumentieren.
Die Summe einer Potenzreihe mit KR R>0 ist ja stetig in (-R,R) und es gilt ∫ab∑n=0∞anzndx=∑n=0∞anbn+1-an+1n+1.

Allerdings habe ich das Gefühl dass das wohl kaum als richtiger Beweis durchgehen wird...


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Bummerang

Bummerang

15:04 Uhr, 28.04.2016

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Hallo,

wenn ∑n=0∞ann+1⋅zn+1 eine Stammfunktion von ∑n=0∞an⋅zn ist, so muss doch

ddz∑n=0∞ann+1⋅zn+1=∑n=0∞an⋅zn

sein. Der Nachweis ist a) korrekt und b) einfach zu erbringen!
anonymous

anonymous

15:12 Uhr, 28.04.2016

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Ja, darüber hatte ich auch schon nachgedacht, aber ich fand es seltsam, F einfach abzuleiten statt f zu integrieren. Konnte mir nicht vorstellen dass diese Richtung des Beweises wirklich gefordert war.
Aber nunja, wenn F(z) eben den Konvergenzradius R hat, so kann ich einfach gliedweise differenzieren und erhalte die Reihe f(z), welche ebenfalls KR R hat, was sich ja dann auch mit unserer Voraussetzung deckt...
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