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Stammfunktion des arctan durch Parameterintegrale

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: arctan, Komplexe Analysis, Parameterintegral

Spidi09 aktiv_icon

10:15 Uhr, 27.04.2018

Hey meine lieben,
Ich sitze zur Zeit an einer mathematischen Arbeit und komme einfach nicht weiter. Ich schreibe über Trigonometrische Funktionen im komplexen und möchte mit Hilfe der Parameterintegrale dazu kommen, dass man den arctan und den

ln

als Stammfunktion zu den Ableitungen der beiden ansehen kann. Jedoch stehe ich auf dem Schlauch und komme nicht darauf, wie das funktionieren könnte.
Kann mir jemand helfen?
Vielen lieben Dank schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

20:44 Uhr, 27.04.2018

Hallo,

da Du vom "Komplexen" sprichst: Meinst Du statt "Parameterintegral" vielleicht Kurvenintegral in

ℂ

? Wenn das so ist, findest Du einiges schon im entsprechendes im Wikipedia-Artikel.

Gruß pwm

Spidi09 aktiv_icon

10:20 Uhr, 28.04.2018

Ja das kann sein. Ich bin mit dabei nicht ganz sicher...
Neben der Darstellung des Arctan soll ich auch das gleiche mit dem Ln machen. Allerdings verstehe ich es leider nicht ganz.

ermanus aktiv_icon

10:40 Uhr, 28.04.2018

Wie lautet denn deine genaue Aufgabenstellung?
Mir fällt hier nur auf, dass man die Ableitungen von

\ln (z + 1)

und

\arctan (z)

leicht als Reihe (geometrische Reihe) schreiben kann.
Diese Reihen kann man dann gliedweise integrieren und bekommt
dadurch die Reihendarstellung von

\ln (z + 1)

und

\arctan (z)

.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

11:14 Uhr, 28.04.2018

Vielleicht sollst du aber auch folgende Schritte durchführen:

Es ist

\arctan (z) ʹ = \frac{1}{1 + z^{2}} = \frac{1}{(z + i) (z - i)} .

Integriere diesen Ausdruck mithilfe der Partialbruchzerlegung;
denn dann treten

\ln

-Ausdrücke auf, und du bekommst
einen Zusammenhang zwischen

\arctan (z)

und

\ln (f (z))

,
wobei

f (z)

eine rationale Funktion in

z

ist.

Spidi09 aktiv_icon

15:40 Uhr, 30.04.2018

Ich glaube das mit der Partialbruchzerlegung ist eine gute Richtung.
Ich habe es mal integriert und komme auf

\frac{l n (1 + i z) - (l n (1 - i z)}{2 i}

stimmt das?

Was mir aber noch nicht klar ist, ist wie nun der arctan mit dem ln zusammenhängt...

ermanus aktiv_icon

23:25 Uhr, 30.04.2018

Du hast jetzt gezeigt, dass folgendes gilt:

a r c t a n (z) = \frac{1}{2 i} \ln (\frac{1 + i z}{1 - i z}) + C

.

Das ist doch ein sehr schöner Zusammenhang ;-)
Du musst nur noch die Intergrationskonstante

C

bestimmen.

Spidi09 aktiv_icon

11:44 Uhr, 02.05.2018

Ja okey stimmt. Also ist der Zusammenhang zwischen arctan und ln, dass man den arctan durch den ln darstellen kann? Funktioniert das ganze auch andersrum? Also das ich wenn ich den ln ableite auf eine Darstellung mit dem arctan komme?

Wie bestimmt man eine solche Konstante?

ermanus aktiv_icon

13:11 Uhr, 02.05.2018

Die Gleichung muss insbesondere für

z = 0

stimmen ...

ermanus aktiv_icon

16:19 Uhr, 02.05.2018

Du kannst aus der Darstellung des

\arctan

durch einen

\ln

-Ausdruck
natürlich auf einfache Weise eine Darstellung des

\ln

durch einen

\arctan

-Ausdruck bekommen:

Setze dazu

w = \frac{1 + i z}{1 - i z}

. Löse dies nach

z

auf.
Setze den Ausdruck für

z

dann in

\arctan (z)

ein.
Dann hast du

\ln (w) = 2 i (\arctan (. . .) - C)

Spidi09 aktiv_icon

17:22 Uhr, 02.05.2018

Super. Vielen Dank. Das hilft mir schon viel weiter. Jedoch bin ich noch nicht ganz am Ziel.
Meine Aufgabe ist es, dass ich folgenden Satz mit dem arctan und dem ln "zeige":

Sei

X \subset 

offen und sternförmig bezüglich a. Weiter sei

f : X \to ℂ

eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist durch

F (x) := \int_{a}^{x} f

eine Stammfunktion F zu f auf X definiert.

Das heißt ja, dass ich den arctan als Stammfunktion für

\int \frac{1}{1 + z^{2}}

bzw. im Falle des Logarithmus, dass ich den log als Stammfunktion für

\int \frac{1}{z}

ansehe.
Wie kann ich diesen Satz im Falle des arctan oder log beweisen in dem ich Parameterintegrale oder Kurvenintegrale verwende?

ermanus aktiv_icon

17:36 Uhr, 02.05.2018

Mir scheint, du suchst gar nicht einen Zusammenhang zwischen

\ln

und

\arctan

?????
Es wäre wirklich prima, wenn du mir die exakte Aufgabenstellung mitteilen würdest ...

Spidi09 aktiv_icon

17:39 Uhr, 02.05.2018

Ja doch. Den Zusammenhang habe ich auch gesucht. Nun suche ich jedoch noch eine Darstellung des oben genannten. Also wie ich den arctan(z) als Stammfunktion von

\frac{1}{1 + z^{2}}

im Komplexen darstellen kann mit Hilfe von Parameterintegralen.

ermanus aktiv_icon

17:40 Uhr, 02.05.2018

Kannst du mir bitte mal die Definition von Parameterintegralen mitteilen?

Spidi09 aktiv_icon

17:48 Uhr, 02.05.2018

Ja natürlich

Es sei

X \subset  u n d γ

ein Weg in

ℂ

. Weiter ist

ϕ : X \times γ^{*} \to ℂ

stetig. Die Abbildung

φ : X \to ℂ

sei definiert durch

ϕ (x) := \int_{γ} d (x, ζ) d ζ

und es gilt
1. Wenn X offen oder abgeschlossen ist, dann ist

ϕ

stetig.

2. Ist X offen und

Z φ : X \times γ^{*} \to ℂ

stetig, so ist

ϕ

stetig differenzierbar mit

ϕ^{'} (x) = \int_{γ} Z φ (X, ζ) d ζ

. Dabei heißt

ϕ (x)

Parameterintegral und

ϕ^{'} (x)

Ableitung des Parameterintegrals.

mit

(Z φ) (x, ζ) := (ϕ_{ζ})^{'} (x)

und

ϕ_{ζ} (x) := φ (x, ζ)

ermanus aktiv_icon

18:01 Uhr, 02.05.2018

Ich habe keine Ahnung, wieso diese Parameterintegrale bei deiner
Darstellungsproblematik eine Rolle spielen sollen.
Der Satz über die Darstellung der Stammfunktion als Wert eines Kurvenintegrals
mit variabler oberer Grenze (Endpunkt der Kurve) längs von Wegen innerhalb
eines gutartigen Gebiets (sternförmig bzgl.

a

) hingegen kann ich verstehen.
Was mir nur nicht klar ist, was mit "zeigen" gemeint sein soll.
Vielleicht einfach nur "anwenden"?

Spidi09 aktiv_icon

18:02 Uhr, 02.05.2018

Ja ok zeigen ist ein schlechtes Wort gewesen. Anwenden passt besser. Jedoch weiß ich nicht wie ich diesen Satz anwenden soll

ermanus aktiv_icon

18:19 Uhr, 02.05.2018

Leider muss ich gleich offline gehen ...
Aber wichtig ist sicher, dass

\frac{1}{1 + z^{2}}

und

\frac{1}{z}

z = \pm i

bzw.

z = 0

nicht stetig sind und also auch nicht stetig diffbar.
Nun kann man sich halt Gedanken darüber machen, wie in beiden Fällen sternförmige
Gebiete bzgl. eines Punktes

a

aussehen können, da sie ja die Pole
(Unstetigkeiten) des Integranden meiden müssen ...
Mehr fällt mir dazu im Augenblick nicht ein.
Zum Beispiel kann man sich überlegen, dass

a r c t a n (z)

dadurch auf der ganzen reellen
Achse so dargestellt werden kann,

l n

aber zunächst mal nur für

x > 0

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