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Stammfunktion von Wurzelfunktion mit Polynom

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, polynom, Wurzelfunktion

 
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Schemenhaft

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16:48 Uhr, 18.09.2019

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Hallo zusammen,

für eine anstehende Klausur ist mir ein grundlegendes Defizit aufgefallen, da ich nicht in der Lage bin von etwas komplexeren Wurzelfunktionen die Stammfunktion zu bilden.
Dies ist in der Klausur nahezu immer der Fall, da wir Bogenlänge und Mantelfläche berechnen müssen.

In der Regel sind das keine schönen Funktionen, wie etwa 7x+10, für diese Fälle bekomme ich die Stammfunktionen noch problemlos gebildet.

Beispielsweise habe ich folgende Funktion: 1+[0,5x-12x]2
Davon muss ich nun zwecks Bogenlänge die Stammfunktion bilden, komme hier aber absolut nicht weiter.
Sollte es hier einen Trick zur Umformung geben, der mir nicht direkt ins Auge springt wäre ich dafür dankbar - Aber trotzdem würde ich gerne wissen, wie ich ganze Terme unter der Wurzel integrieren kann.

Bisher habe ich schon eine ganze weile daran rumgebastelt aber nie ein brauchbares Ergebnis bekommen.
Nach dem Auflösen des Binoms kam ich schonmal so weit, gebracht hat mir das meiner Ansicht nach bisher aber nicht viel: (0,5+0,25x2+14x-2)0,5

Vielen Dank schon mal vorab!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Roman-22

Roman-22

16:57 Uhr, 18.09.2019

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Die Integrale, die sich bei Berechnung von Bogenlängen ergeben, sind sehr oft nicht exakt analytisch zu bestimmen und man ist auf Näherungsverfahren oder Abschätzungen angewiesen.
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ermanus

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17:01 Uhr, 18.09.2019

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Hallo,
in manchen Fällen ist es nicht besonders schlau, Brüche durch
Dezimalzahlen zu ersetzen:

1+(x2-12x)2=124+(x-1x)2=122+x2+1x2=12xx4+2x2+1=...

Gruß ermanus
Schemenhaft

Schemenhaft aktiv_icon

17:16 Uhr, 18.09.2019

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Da hast du recht, das habe ich in dem Fall hier nur getan zwecks entspannterer Eingabe.
Zu der Umformung hab ich aber noch eine Frage, da ich im Umformen in dem Fall noch nicht ganz Fit bin.

Im zweiten Schritt wurde aus der 1 eine 4, wieso?
Bzw. könntest du mir von der Ausgangsgleichung erklären wie du diese zum zweiten Punkt umgeformt hast?
Du hast 12 jeweils aus den inneren beiden Termen rausgezogen, aber wieso wurde dann aus der 1 eine vier?
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ermanus

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17:18 Uhr, 18.09.2019

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Wegen 1=422 ;-)
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supporter

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17:22 Uhr, 18.09.2019

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Unter der Wurzel wurde faktorisiert und dabei 14 ausgeklammert, das man dann rausziehen kann.
Schemenhaft

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18:07 Uhr, 18.09.2019

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Alles klar, bis zu dem Schritt bin ich nun auch gekommen, beim letzten Schritt stehe ich aber nochmal etwas auf dem Schlauch, wie die 1x ausmultipliziert wurden.
Oder wurde hier was ganz anderes getan? Ich stehe grad ein wenig auf dem Schlauch, da ich auch noch nicht ganz erkenne, wie mich das im Punkto Integration weiterbringt.
Womöglich macht mein Kopf langsam dicht und ich verstehe grad die leichtesten Zusammenhänge nicht mehr, bin jetzt schon einige Stunden am lernen, sorry wenn ich grade nicht mehr ganz durchblicke.
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Roman-22

Roman-22

18:07 Uhr, 18.09.2019

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Wie schon gesagt führen in der Praxis Bogenlängenberechnungen meist auf nur mit Näherungsverfahren lösbare Integrale.

Die Bogenlänge eines Abschnitts des Graphen der Funktion f(x):=14(x2-2lnx) wird eher selten interessieren, dennoch führt aber gerade diese konstruierte Aufgabe auf das von dir genannte Integral und ist "zufälligerweise" exakt lösbar ;-)

Um von deinem Zwischenergebnis auszugehen:

(0,5+0,25x2+14x-2)0,5=12+x24+14x2=2x2+x4+14x2=x4+2x2+14x2=(x2+1)2(2x)2=...
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ermanus

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18:16 Uhr, 18.09.2019

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Da hat natürlich Roman-22 Recht. Wenn nun aber in einer Klausur
so etwas vorkommt, dann wird die Aufgabe so gestellt sein,
dass sie eben gerade nicht durch ein Näherungsverfahren angegangen werden soll.
Dann dient sie dazu, die Fähigkeiten des geschickten Umformens beim Studenten
zu beurteilen.
Frage beantwortet
Schemenhaft

Schemenhaft aktiv_icon

16:43 Uhr, 19.09.2019

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Besten Dank, damit konnte ich dann doch noch alles nachvollziehen und abschließend korrekt lösen.
Dann gehts jetzt für mich daran, mein Umformen zu trainieren.