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Stammfunktion zyklische partielle Integration

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Cosinus, Cosinusfunktion, Integration, ln-Funktion

anonymous

12:41 Uhr, 11.03.2016

Hallo zusammen,

es geht um folgendes Problem:

Zunächst möchte ich zwei Beispiele nennen,

f (x) = x^{2} ln (x)

und

f (x) = x^{2} cos (x)

Mir ist bewusst, dass man hier die partielle Integration benutzen muss und dass dies zu einer part. Integration in einer part. Integration in einer part. Integration führen würde (also zyklisch ist). Kann mir bitte einer ausführlich erklären wie man solche Probleme umgeht?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion
ln-Funktion

ledum aktiv_icon

13:06 Uhr, 11.03.2016

Hallo
es ist nicht "zyklisch"
warum machst du nicht die ersten 2 partiellen Integrationen? führ die mal vor. dann bist du doch eigentlich fertig, und es geht nicht weiter? bei dem

ln

ist es nur eine part. Integration.
Gruß ledum

anonymous

13:30 Uhr, 11.03.2016

Ahhh ich sehe meinen Fehler,
die Ergebnisse wären:

F (x) = x^{2} sin (x) + 2 x cos (x) - 2 sin (x)

und

G (x) = \frac{x^{3}}{3} (ln (x) - \frac{1}{3})

richtig?

Das viel größere Problem stellt:

h (x) =

exp(ax)

sin (x)

dar.

abakus

14:18 Uhr, 11.03.2016

Zweimalige partielle Integration?

Auch ein Ansatz

H (x) = e^{a x} (c \cdot s i n (x) + d \cdot c o s (x))

(mit dem Bilden von H'(x) und anschließendem Koeffizientenvergleich) kann helfen.

ledum aktiv_icon

15:10 Uhr, 11.03.2016

Hallo
durch 2 mal partiell integrieren kommst du auf ein vielfaches des Ausgangsintegral, das bringst du zu dem Ausgangsintegral auf die linke Seite und hast dann ein vielfaches des Ausgsngsintegrals.
Gruß ledum

anonymous

15:40 Uhr, 11.03.2016

Meine zweimalige partielle Integration sieht folgendermaßen aus:

F (x) = [- (e^{a \cdot x} \cdot cos (x)] + S cos (x) \cdot a \cdot e^{a \cdot x}

= [- (e^{a \cdot x} \cdot cos (x)] + [- cos (x) \cdot e^{a \cdot x}] + S e^{a \cdot x} \cdot sin (x)

(das

S

steht für Integral).

Was darf ich nun nach links bringen und wie sähe das aus?

LG und Danke

Roman-22

16:12 Uhr, 11.03.2016

Beim zweiten partiellen Integrieren ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen - das Minus in der eckigen Klammer ist falsch.
Somit hast du

\int e^{a x} \cdot sin x d x = . .

= \int e^{a x} \cdot sin x d x

gezeigt. Nicht falsch, aber auch nicht gerade hilfreich.

Du hast bei der ersten partiellen Integration

e^{a x}

als jenen Faktor gewählt, den du differenzierst, beim zweiten Mal aber offenbar

cos x

. Dadurch landest du wieder am Beginn und nichts hat sich geändert.
Die Wahl beim ersten Mal ist beliebig, aber beim zweiten Mal sollte sie so wie beim ersten mal sein.

Das Integralzeichen erhältst du im Text-Modus indem du einfach "int" (ohne Anführungszeichen) schreibst und ein

d x

wär auch nett.

\to

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

R

ledum aktiv_icon

16:27 Uhr, 11.03.2016

Hallo
deine partielle ist falsch, es fehlen Faktoren bzw du hast falsch partiell integriert
u'=e^ax

v = sin (x)

\int

e^(ax)*sin(x)=1/a*e^(ax)*sin(x)

- \frac{1}{a} \cdot \int

e^(ax)*cos(x)=1/a*e^(ax)*sin(x)+1/a^2e^(ax)sin(x)+

\frac{1}{a^{2}} \cdot \int

e^(ax)sin(x)
bitte überprüf die Vorzeichen!
jetzt hast du rechts

\frac{1}{a^{2}} \cdot

das Ausgangsintegral, bring es nach links!
Gruß ledum

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