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Stereometrie - Würfel und Tetraeder

Schüler Gesamtschule, 11. Klassenstufe

Tags: Formel

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13:39 Uhr, 20.07.2011

Einem Würfel (Kantenlänge

a)

wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder (Kantenlänge

b)

einbeschrieben. DIe Länge a ist zahlenmässig bekannt.

a)

Geben Sie den Rauminhalt

V

des Tetraeders an (ausgedrückt durch

a)

b)

Den Würfel kann man such zusammengesetzt denken aus dem Tetraeder sowie vier Pyramiden gleichen Grundflächeninhalts.
Wie gross ist der Rauminhalt

V

jeder dieser Pyramiden?

c)

Machen Sie die Probe ob die SUmme aller fünf Pyramiden-Rauminhalte in der Tat gleich dem Rauminahlt des Würfels ist.

Komme keinen Schritt vorwärts könnte jemand Schritt für Schritt mit mir die Aufgaben durchgehen das wäre super.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

13:43 Uhr, 20.07.2011

Kannst Du die Abbildung scannen oder abfotografieren und hier reinstellen? Ansonsten tut man sich etwas hart sich unter der "abgebildeten Weise" etwas vorzustellen ;-)

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13:44 Uhr, 20.07.2011

upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Tetraeder_animation_with_cube.gif

DmitriJakov aktiv_icon

13:50 Uhr, 20.07.2011

Hmmm, Du hast jetzt die Abbildung aus Wikipedia verwendet. Daher gehe ich davon aus, dass Du den Artikel selbst auch kennst. Dort steht auch direkt neben dem Bild: "Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens."

Wo genau hast Du jetzt das Problem? Fang doch einfach mal an die Aufgabe zu lösen, also zumindest ein Lösungsversuch wäre gut.

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13:53 Uhr, 20.07.2011

Das Problem ist das ich nicht weis welche Daten ich für die Formel benutzen kann.

Mir fehlt einfach der Ansatz.

DmitriJakov aktiv_icon

13:57 Uhr, 20.07.2011

Nun, ein Tetraeder ist eine Pyramide, die aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht. Das Volumen einer Pyramide ist

\frac{1}{3} \cdot

Grundfläche

\cdot

Höhe

Das wäre mal der Grundansatz. Hast Du eine Idee wie man zu diesen Daten kommen könnte?

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14:02 Uhr, 20.07.2011

Ich verstehe das nicht die Formel die ich habe für ein Tetraeder ist:

V =

Wurzel

(2) \cdot \frac{a^{3}}{12}

DmitriJakov aktiv_icon

14:07 Uhr, 20.07.2011

Na wunderbar. Ich hatte schon befürchtet, dass man diese Formel herleiten müsste.

Wenn Du dir den Tetraeder in der animation ansiehst, dann geht eine Seitenlinie des Tetraeders immer von der linken unteren Ecke des Würfels ind die rechte obere Ecke, um danach, wenn sich der Würfel weiter gedreht hat, wieder wieder von links oben nach rechts unten zu laufen.

Die Seitenlänge des Tetraeders ist also die Länge der Diagonalen des Würfels. Wie lang ist diese Diagonale, wenn der Würfel die Kantenlänge a hat?

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14:09 Uhr, 20.07.2011

Weis ich nicht. Ich stehe gerade total auf dem Schlauch.

DmitriJakov aktiv_icon

14:09 Uhr, 20.07.2011

Versuche es mit dem Satz des Pythagoras:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

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14:14 Uhr, 20.07.2011

Ähm,

b =

Wurzel

(a^{2} + a^{2})

DmitriJakov aktiv_icon

14:17 Uhr, 20.07.2011

Ja, ganz genau. Und das kannst Du noch ein wenig vereinfachen. Versuche mal, ob Du a aus der Wurzel herauslösen kannst (Tip: Ausklammern)

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14:18 Uhr, 20.07.2011

Das verstehe ich nicht

DmitriJakov aktiv_icon

14:22 Uhr, 20.07.2011

Nur nebenbei: Das Wurzelzeichen erzeugt man hier mit dem Schlüsselwort "sqrt"

Zur Frage:
Du hast geschrieben:

b = \sqrt{a^{2} + a^{2}}

und das ist auch richtig. Nur ist es für die weitere Aufgabe hilfreich, wenn Du das noch weiter vereinfachst. Zum Beispiel so:

b = \sqrt{a^{2} \cdot (1 + 1)} = \sqrt{2 \cdot a^{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2}} = \sqrt{2} \cdot a

So, und das setzt Du jetzt in Deine Tetraederformel ein.

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14:23 Uhr, 20.07.2011

Hey danke für deine Hilfe erstmal aber ich häng gerade wieder ich habe ja Seite

b

und muss das in die Formel einsetzen aber da habe ich nur Seite a

DmitriJakov aktiv_icon

14:26 Uhr, 20.07.2011

Die Seitenlänge Deines Tetraeders heisst

b

. Also musst Du in der Formel für das Volumen des Tetraeders auch diesen Namen verwenden.

Bitte streng Dich ein wenig an und lass Dich nicht wie ein Blinder durch die Landschaft führen.

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14:33 Uhr, 20.07.2011

(\sqrt{2}) \cdot \frac{{(\sqrt{2} \cdot a)}^{3}}{12}

Ist das richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

14:37 Uhr, 20.07.2011

Na Gott sei Dank. Ein wenig schlampig, aber immerhin ;-)

V = \sqrt{2} \cdot \frac{{(\sqrt{2} \cdot a)}^{3}}{12}

Und dies multiplizierst Du jetzt noch aus und vereinfachst es dann so weit wie möglich.

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14:41 Uhr, 20.07.2011

Muss ich jetzt nach a auflösen?

DmitriJakov aktiv_icon

14:42 Uhr, 20.07.2011

Nein, nur ausmultiplizieren und vereinfachen.

V

bleibt allein auf der linken Seite.

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14:45 Uhr, 20.07.2011

Ich komme bis

\frac{{(\sqrt{2} \cdot a)}^{3}}{6}

wie geht es weiter?

DmitriJakov aktiv_icon

14:47 Uhr, 20.07.2011

ähhm

\frac{\sqrt{2}}{12} = \frac{1}{6}

?
Denk nochmal nach.

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14:50 Uhr, 20.07.2011

Ich verrechne mich die ganze Zeit komme nicht weiter.

: - (

DmitriJakov aktiv_icon

14:57 Uhr, 20.07.2011

Ok, dann gebe ich Dir noch die Lösung samt Weg. Aber dann breche ich ab, denn Aufgabe

b

wird nicht leichter. Ich gebe Dir für

b

nur noch den Tip: Rechne Dir die Raumdiagonale des Würfels aus.

So, und nun noch zu a)

V = \sqrt{2} \cdot \frac{{(\sqrt{2} \cdot a)}^{3}}{12} = \frac{\sqrt{2} \cdot {\sqrt{2}}^{3} \cdot a^{3}}{12} = \frac{{\sqrt{2}}^{4} \cdot a^{3}}{12} = \frac{4 \cdot a^{3}}{12} = \frac{1}{3} a^{3}

Und weil

a^{3}

das Volumen des Würfels ist, ist das Volumen des einbeschriebenen Tetraeders also genau ein Drittel davon.

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14:59 Uhr, 20.07.2011

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

funke_61 aktiv_icon

15:05 Uhr, 20.07.2011

Hallo,
zur Lösung von

b)

gibts auch einen einfacheren Weg als über die Raumdiagonale.
Man kann sich die vier (regelmäßigen) Pyramiden (die auf den Dreiecken des Tetraeders stehen) auch so vorstellen, dass deren
GRUNDFLÄCHE jeweils die Hälfte einer Würfelseite ist,
und deren
HÖHE jeweils einer Würfelkante entspricht.
Dabei kommen dann zwar "schiefe" Pyramiden raus, aber diese haben das gleiche Volumen. Wichtig ist bei der Volumenformel einer Pyramide

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

nur, dass die Höhe

h

senkrecht auf der Grundfläche

G

steht, und dies ist beim betrachteten Würfel der Fall.
Kannst Du dieser Überlegung folgen?

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