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Stetig Ergänzbar in x0=0?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit, Umkehrfunktion

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11:41 Uhr, 08.11.2015

Hallo zusammen!

a)
Es sei

f (x) = \frac{s i n (x) t a n (x)}{s i n h (x)}, - \frac{π}{2} < x < 0

f (x) = \frac{e^{x^{2}} - 1}{2 x}, x > 0

Zeigen sie, das

f

x_{0} = 0

stetig ergänzbar ist und geben sie eine stetige Ergänzung

\hat{f}

an.

lim_{x ↑ 0} f (x) = \frac{s i n (x) t a n (x)}{s i n h (x)} \overset{l ʹ H}{\Rightarrow} \frac{s i n (x) + t a n (x) \frac{1}{c o s ² (x)}}{c o s h (x)} = \frac{0 + 0 * 1}{1} = 0

lim_{x ↓ 0} f (x) = \frac{e^{x^{2}} - 1}{2 x} \overset{l ʹ H}{\Rightarrow} \frac{2 x * e^{x^{2}}}{2} = \frac{0 * 1}{2} = 0

Da Links- und Rechtsseitiger Grenzwert ex. und gleich folgt stetig in

x_{0} = 0

Stetige Ergänzung:

\hat{f} (x) = 0, x = 0

b)
Bestimmen sie die Umkehrfunktion

g^{- 1}

der Funktion

g (x) = 2 ((x - 1) ² + 1), x \in [1, \infty)

y = 2 (x - 1) ² + 2 \overset{}{\Leftrightarrow} - 2 + y = 2 (x - 1) ² \overset{}{\Leftrightarrow} - 1 + \frac{1}{2} y = (x - 1) ² \overset{}{\Leftrightarrow}

\pm \sqrt{- 1 + \frac{1}{2} y} = x - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x = 1 + \frac{\sqrt{y - 2}}{\sqrt{2}}, y \geq 2

g^{- 1} (x) = 1 + \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{2}}, x \geq 2

c)
Wahr oder Falsch? Es sei

f

eine stetige, beschränkte Funktion. Dann ist

f

monoton.
Falsch, da:

f (x) = 3

stetig und beschränkt, aber nicht monoton da konstant.

Vielen Dank fürs kontrollieren!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

11:52 Uhr, 08.11.2015

In a) im ersten Beispiel ist die Ableitung im Zähler falsch. Das Ergebnis passt, das ist aber Zufall.

In b) ist es nicht schön zu schreiben

x - 1 = \pm . . .

<=>

x = 1 . . .

ohne

\pm

, denn das stimmt eigentlich nicht. Und es fehlt auch die Erklärung, warum Du aus

\pm

nur eine Variante nimmst.

In c) ist eine Konstante monoton, wenn auch nicht streng monoton. Daher besser

\sin (x)

nehmen, z.B.

wuerst aktiv_icon

12:11 Uhr, 08.11.2015

Hey DrBoogie, danke für deine Antwort!

a)
Die Ableitung im Zähler ist natürlich

s i n (x) + t a n (x) \frac{1}{c o s (x)}

Der Rest stimmt dann aber?

b)
also

. . . \overset{}{\Leftrightarrow} x = 1 \pm \sqrt{- 1 + \frac{1}{2} y} \overset{}{\Leftrightarrow} x = 1 + \sqrt{- 1 + \frac{1}{2} y},

x \in [1, \infty)

Oder belasse ich es einfach bei

\pm

, obwohl

-

ja nicht in Frage kommt da x größergleich 1 sein muss laut Definition.

c)
Ah natürlich, danke!

DrBoogie aktiv_icon

12:33 Uhr, 08.11.2015

"a)Der Rest stimmt dann aber?"

Ja.

b) - es ist OK ohne

\pm

am Ende zu schreiben, nur davor muss es => heißen und nicht <=>.

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