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Stetige Funktion dann Injektiv, wenn str. Monoton

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, injektiv, Injektivität, Monotonie, stetige Funktion, Stetigkeit, streng monoton, Zwischenwertsatz

Ubongo aktiv_icon

16:46 Uhr, 09.12.2015

Hi ich habe folgende Aufgabe die mich etwas verwirrt:
Zeigen sie: Eine stetige FUnktion auf einem Intervall ist genau dann injektiv, wenn sie streng monoton ist. (Hinweis: Verwenden sie den Zwischenwertsatz)

Ansich ist die erklärung doch recht trivial, da strenge Monotonie ja injektivität impliziert.

Da ich es aber doch zeigen muss, habe ich mir folgendes gedacht:

o . B . d . A . : a < p < b \to f (a) < f (p) < f (b)

Das ist aber irgendwie sehr wenig und mein Tutor meinte man müsse das von beiden Seiten beweisen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ledum aktiv_icon

19:16 Uhr, 09.12.2015

Hallo
du musst wirklich 2 Seiten beweisen
das sagt das Wort genau in der Behauptung
Eine stetige FUnktion auf einem Intervall ist GENAU dann injektiv.
also

a) f

injektiv folgt

f

monoton

b) f

monoton folgt

f

injektiv.
und etwas mehr als du geschrieben hast, muss du schon schreiben. du musst ja für b)zeigen, aus

f (a) = f (b)

folgt

a = b

wo steht das bei dir?
bei a dann wenn gilt aus

r f (a) = f (b)

folgt

a = b

dann ist

f

monoton.

(unter anderem hast du nur eine monoton wachsende fkt angenommen. )
Gruß ledum

Ubongo aktiv_icon

20:42 Uhr, 09.12.2015

okay ergibt Sinn.

Ich hab mir nochmal ein paar Gedanken gemacht und es sieht nun wie folgt bei mir aus:

1 : ⊙ B . d . A : f (a) < f (b)

und

a < b

Ist

p \in [a, b],

dann folgt(Stetigkeit und Injektivität) folgt mit dem zws:

f (p) \in [f (a), f (b)]

Annahme:

p_{1}, p_{2} \in [a, b]

mit

p_{1} < p_{2}

und

f (p_{1}) > f (p_{2})

\to f (p)

nicht streng monoton auf

[a, b]

f (p_{1}), f (p_{2}) \in [f (a), f (b)]

\to

(zws)

[f (a), f (p_{1})] \subseteq f ([a, p_{1}])

f (p_{2}) \in [f (a), f (b)] \to f (a) \leq f (p_{2}) \leq f (b)

Nach der Annahme:

f (p_{2}) < f (p_{1})

f (p_{2}) \in [f (a), f (p_{1})) \subseteq [f (a), f (p_{1})] \subseteq f ([a, b])

\to \exists ε \in [a, b], ε \neq p_{2}

mit

f (ε) = f (p_{2})

\Rightarrow

wiederspruch

Aber ich weiß nicht so recht ob das richtig ist bzw. wo ich dann

f (a) = f (b)

folgt

a = b

einbauen soll

ledum aktiv_icon

16:11 Uhr, 10.12.2015

Hallo
ich verstehe dein Vorgehen nicht ganz
du willst offensichtlich aus streng monoton in I

= [x_{1}, x_{2}]

folgt injektiv?
sei

a, b \in I

streng monoton heisst aus

a < b

folgt

f (a) < f (b)

bzw

a > b

folgt

f (a) > f (b)

damit direkt falls

f (a) = f (b)

folgt

a = b

oder soll das die Umkehrung sein?
Vors

f

injektiv und stetig also aus

f (a) = f (b)

folgt

a = b

und wegen Stetigkeit folgt ZWS.
dann folgt aus

a \neq b f (a) \neq f (b)

also

a) f (a) < f (b)

oder

b) f (a) > f (b)

so muss dein Beweis anfangen, also klar die Vors hinschreiben und dann folgern.
dein Vorgehen ist mir zu durcheinander.
wenn du einen -widerspruch formulieren willst dann musst du das sagen: also angenommen

a) a \leq p 1 < p 2 \leq b f (p 1) > f (p 2)

dann mit ZWS den Widerspruch erzeugen.
Gruß ledum

Ubongo aktiv_icon

16:38 Uhr, 10.12.2015

Danke für das feedback, hat mir sehr geholfen.

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