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Stetigkeit Umkehrfunktion
Universität / Fachhochschule
Tags: Stetigkeit, Umkehrfunktion
 
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Hallo, ich habe die Aufgabe: a) Sei kompakt, und stetig und bijektiv. Man zeige, dass die Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. b) Man gebe eine nichtkompakte Menge , eine Menge E sowie eine stetige und bijektive Funktion an, deren Umkehrfunktion nicht stetig ist. Meine Ideen: Zu a) Da bijektiv ist, weiß ich das umkehrbar ist. Das heißt es gilt . Für Stetigkeit gilt nun das für alle gilt: gilt. Da kompakt also abgeschlossen und beschränkt ist weiß ich das Maximum und Minimum annimmt. Das heißt dann also das zu jedem ein existiert mit (Zwischenwertsatz). Da jeder Wert angenommen wird gilt: Geht das? Danke soweit! :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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G16 hier: file:///C:/Users/D_und_V/Downloads/ue05_L.pdf |
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Hallo DrBoogie, ist das ein Rätsel? Ehrlich gesagt habe ich mit der Aufgabe schon genug zu tun. ^^ Gruß |
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Da steht die Lösung. |
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Also mir wird angezeigt "Datei nicht gefunden" wenn ich den Link bei mir in den Browser eingebe. Danke schonmal! |
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Da steht: Es seien und metrische Räume. Zusätzlich sei kompakt. Beweise: Ist die Funktion stetig und bijektiv, so ist die Umkehrfunktion stetig. Um die Stetigkeit von nachzuweisen, zeigen wir, dass das Urbild offener Mengen wieder offen ist oder was hierzu aquivalent ist, dass das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Sei also abgeschlossen. Aus der Kompaktheit von folgt die Kompaktheit von . Weiter gilt . Da stetig ist und kompakt, ist ebenfalls kompakt. Als kompakte Teilmenge des metrischen Raumes ist abgeschlossen. Wir haben also gezeigt, dass das Urbild abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. Hieraus folgt die Stetigkeit von . |
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Ok, dann ist meine Idee ja komplett daneben. Hast du auch eine Idee zu der b)? Danke schonmal! :-) |
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"Ok, dann ist meine Idee ja komplett daneben." Das habe ich nicht gesagt. Vielleicht geht es auch mit Deiner Idee, ich habe leider jetzt keine Zeit, sie genauer unter die Lupe zu nehmen. |
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"Wir merken an dieser Stelle an, daß die Umkehrfunktion einer stetigen Funktion im Allgemeinen nicht stetig ist. Als Beispiel betrachten wir die Abbildung gegeben durch . Als Restriktion von Kompositionen stetiger Funktionen ist stetig. Das Bild von ist der Einheitskreis in und ist bijektiv. Die Umkehrfunktion erleidet andererseits einen Sprung von wenn vom vierten in den ersten Quadranten wechselt und ist damit nicht stetig von nach ." Nur musst Du dieses Beispiel anpassen, indem Du durch ersetzt. |
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Krasser scheiss! :-D) Wo nimmst du das alles her? Danke vielmals! |
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Ich haben einen großen und mächtigen Freund: Mr. Google. :-) |
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Ja, da schaue ich für gewöhnlich auch erst. Ich stelle mich wohl zu doof zum suchen an. ;-) Danke sehr! |
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Und bedanken nicht vergessen! ;-) Gruß |
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Da hilft natürlich, wenn man Wissen drum herum hat, oft muss man zuerst nach passenden Umschreibungen suchen. |
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