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Strahlensatzaufgabe Extremwert
Schüler Kolleg, 11. Klassenstufe
Tags: Dreieck, extremum, Rechtecke sollen max. werden, Strahlensatz
 
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Huhu, ich benötige dringend Hilfe zum Thema "Strahlensatz" bei folgender Aufgabenstellung, die keine direkte Frage beinhaltet. Mein Lehrer meinte dazu, wenn so eine Aufgabe im Abi drankommt, dann muss man alles Nötige, was mit dem Rechteck zu tun hat ausrechnen. Aufgabe: In ein beliebiges Dreieck (Grundline Höhe soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden. Eine Rechteckseite lieget auf der Grundlinie des Dreiecks. Hierfür sollen wir Strahlensätze benutzen oder einen, aber damit kenn ich noch nicht mal beim Lesen von Wikipedia etc. aus. Ich weiß nur, dass es sich hier um Verhältnisszahlen handelt. Ich versteh noch nicht mal, wo ich da nun anfangen soll oO Bitte um Hilfe! DANKE Chris Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Guten Morgen, am Besten du fängst mit einer geeigneten Skizze an. Hier sind a und b die Seiten des Rechtecks und g und h Grundseite und Höhe des Dreiecks. Zunächst stellt man die hauptbedingung auf. Da der Flächeninhalt des Rechtecks maximal werden soll, braucht man für ihn eine Formel. Hauptbedingung: Da A von zwei Variablen abhängt müssen wir eine eliminieren. Dazu stellt man eine weitere Beziehung auf, die Nebenbedingung und hier kommt der Strahlensatz ins Spiel. In unserer Figur gelten folgende Verhältnisse: Nebenbedingung: Das könnte man nach a umstellen und erhält: Nun setzt man das in die Hauptbedingung ein und erhält die Zielfunkrion: Diese untersucht man nun auf lokale Extrema und erhält das b, für das die Fläche des Rechtecks maximal wird. Man erhält und Das sollte genügen. Gruß mathos  |
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Hmmm... ok, aber woher weiß ich denn immer, welche Seiten ich mit was teilen soll? Das mit Skizze is mir jetzt klar und das mit der Formel fürs Rechteck auch. Aber ich blick so gar nicht bei den Verhältnissen der Seiten zueinander durch. Dabei steht bei mir immer eine Frage im Hinterkopf, nämlich wie geht man denn da vor. Aber super für die schnelle Antwort, auch wenn ich da nicht wirklich bei der Thematik durchblicke. LG Chris |
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Wenn mich nicht alles täuscht, dann gilt der Lösungsansatz von mathos nur für den Spezialfall eines gleichschenkligen Dreiecks. Aber das Lösungsprinzip bleibt das selbe.
Zum Verständnis des Strahlensatzes: Der Strahlensatz gibt an, in welchen Verhältnis bestimmte Abschnitte der besonderen geometrischen Figur sich kreuzende Geraden werden von 2 parallelen Geraden geschnitten) zueinander stehen. Man muss drei dieser Abschnitte kennen um den vierten zu berechnen. Das ist eigentlich schon fast alles. |
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Hallo zusammen!
Ganz so einfach wie Dimitri sagt, ist es nicht; es kommt schon drauf an, welche Strecken man vergleicht. Der Strahlensatz inkl. Zeichn. muß ja im Mathebuch stehen, desh. nur eine kurze Wh. bzgl. des 3ecks: A & B haben wir schon, soll die Spitze C sein u. P & Q die Schnittp. d. Rechtecks mit d. Seiten AC bzw. BC. Dann gelten folg. Verhält.: . (1) PC:AC = QC:BC; also d. 3eck-Seiten unterein.; u. . (2) PC:AC = PQ:AB = a:g; dh. 3eck zu Rechteck. Den Ansatz von "Math" hab ich auch zuerst für (eingeschränkten) Spezialfall gehalten, aber wie man gleich sehen wird, ist das Ergeb. dasselbe. Also: Wenn wir nicht die Seiten AC & BC, sond. AC & h vergl., ergibt sich nach Satz (1): . (1') PC:AC = (h-b):h. Zusammen mit (2) folgt daraus: . (3) a = g(h-b)/h u. damit aus der allg. Rechteckformel: . A = ab = b g(h-b)/h = g(hb-b^2)/h. Das ist (fast) dasgl. wie bei "Math", nur ist dort das h im Zähler statt im Nenner; das dürfte aber nur ein typo sein. Damit haben wir d. bestimm. Gl. für die Fläche, die man, wie "Math" ganz richtig sagt, wie gewohnt auf Extrema untersucht, also: ; u. damit aus (3): . Bei genauem Hinsehen ist das auch gar nicht verwunderlich, denn d. Strahlens. gilt unabh. von den Winkeln u. damit d. Teilung im 3eck. Alles Gute! |
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