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Summe unter der Wurzel integrieren

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Summe, Wurzel

Julisson aktiv_icon

20:06 Uhr, 09.02.2016

Hallo,

Ich bin nun schon mehrmals auf das Problem gestoßen, wie man solche Wurzeln integriert:

z . B

. : Integral von

{(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}

In der Lösung wurde folgendes Ergebnis angegeben:

\frac{1}{3} \cdot {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C

Mir ist nur nicht ganz klar, wie man darauf kommt?

Selbiges gilt für's Ableiten von Summen unter Wurzeln, wie funktioniert das denn genau?
In meinen Unterlagen finde ich dazu keine Hinweise.
Danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

IPanic aktiv_icon

20:17 Uhr, 09.02.2016

Falls du die Kettenregel kennst, sollte das Ableiten derartiger Funktionen kein Problem darstellen.

Beispiel:

Sei

f (x) := \sqrt[]{3 x^{2} + 5 x + 3} = {(3 x^{2} + 5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}

Die Ableitung dieser Funktion ist die Ableitung der äußeren Funktion an Stelle der inneren Funktion multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion (Kettenregel).

äußere Funktion

h (x) = \sqrt[]{x} = x^{\frac{1}{2}}

innere Funktion

g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 3

h' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}

(Das ist die Ableitung der Potenzfunktion, sollte dir bekannt sein)

g' (x) = 6 x + 5

Jetzt wendest du die Kettenregel an. Dann ist

f' (x) = h' (g (x)) \cdot g' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 x^{2} + 5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (6 x + 5)

Bei deinem gegebenen Integral kann man nun, mit dem Wissen über die Ableitung verketteter Funktionen und die Ableitung der Potenzfunktion, die Stammfunktion bestimmen.

Julisson aktiv_icon

20:41 Uhr, 09.02.2016

Oh man. Klar... daran hab ich gar nicht mehr gedacht.
Dankeschön, das hilft mir echt weiter! :-D)

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