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Surjektivität, Injektivität und Umkehrfunktion
Universität / Fachhochschule
Tags: injektiv, surjektiv, Umkehrfunktion
 
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anonymous 12:06 Uhr, 08.02.2017  |
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Hallo, mir ist irgendwie der Zusammenhang zwischen injektiv, surjektiv und umkehrfunktion noch nicht so klargeworden. Für Injektivität muss ich ja snd herausbekommen für Injektivität. Für Surjektivität weiß ich jetzt nicht ganz genau, was ich da machen soll? Muss ich da die Umkehrfunktion bilden und wenn die Umkehrfunktion einen eingeschränkten Definitionsbereich hat, ist die Funktion dann nicht surjektiv? Man gibt es denn immer eine Umkehrfunktion. Wenn die Funktion injektiv ist? Danke im voraus |
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Eine Funktion f : D → Z heisst injektiv gdw. jedes Element der Zielmenge Z Funktionswert von höchstens einem Element der Definitionsmenge D ist. Es kann also sein, dass bestimmte Elemente der Zielmenge nicht getroffen werden. Beispiel einer Injektiven Funktion: f: R\]-∞, 0[ → R , x → x2 ist injektiv, denn jedes nicht negative Element der Zielmenge ist Funktionswert von genau einem Element der Definitionsmenge und kein übriges Element der Zielmenge ist Funktionswert. Nun aber ist diese Funktion nicht umkehrbar. Der Grund dafür: Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion wäre R, die Zielmenge der Funktion. R aber kann nicht Definitionsbereich einer Wurzelfunktion sein, denn das Radikand muss >= 0 sein. Eine Funktion f : D → Z heisst hingegen surjektiv gdw. jedes Element der Zielmenge Z Funktionswert von mindestens einem Element der Definitionsmenge D ist. Es kann also sein, dass bestimmte Elemente der Zielmenge mehr als einmal getroffen werden, daher ist sie nicht umkehrbar. f: R → R\]-∞, 0] , x → x2 ist surjektiv, nicht aber injektiv. Daher auch nicht umkehrbar. Der Funktionswert 1 etwa wird zwei Male getroffen, denn f(-1) = f(1) = 1 Damit eine Funktion umkehrbar ist, muss sie bijketiv sein. Eine Funktion f : D → Z heisst bijektiv gdw. sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist bzw. gdw. jedes Element der Zielmenge Z Funktionswert ist von genau einem Element der Definitionsmenge D. Beispiel einer bijektiven, daher auch umkehrbaren Funktion: f: R\]-∞, 0[ → R\]-∞, 0[ , x → x2, denn jedes Element der Zielmenge ist Funktionswert von genau einem, daher auch von höchstens (injektiv) und von mindestens (surjektiv) einem Element der Definitionsmenge. Damit eine Funktion umkehrbar ist, muss ihre Zielmenge Definitionsbereich und ihr Definitionsbereich Zielmenge sein der Umkehrfunktion. Wie ich gezeigt habe, trifft dies nicht immer zu. |
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