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Tangens am Einheitskreis

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Vorzeichen

bunny-mathe1 aktiv_icon

14:47 Uhr, 19.05.2011

Hallo ihr lieben
Bei

cos

und sin sind mir die vorzeichen in den jeweiligen quadranten am einheitskreis klar. Vom ursprung nach link oder unten ist neg und vom urspung nach recht oder oben ist positiv.

Aber wie ist das mit dem Tangens? Also wie kann ich mir dass da herleiten
1 Quadrant

+

2 -

3 +

4 -

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)

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funke_61 aktiv_icon

15:03 Uhr, 19.05.2011

Hallo,
Deine Vorzeichen stimmen für die einzelen Quadranten.
Hängt Dein Problem damit zusammen, dass der Tangens für

\frac{π}{2}

gegen

\infty

geht, wenn man von 0 kommt?
Vielleicht hilft Dir ja die formale Definition des Tangens weiter:

tan x := \frac{sin x}{cos x}

Du sagst ja, dass Dir die Vorzeichen von Sinus und Cosinus in den einzelnen Quadraten klar sind.
Es es ergibt sich mit diesen Vorzeichen für jeden Quadranten eine andere "Kombination" aus Vorzeichen in Zähler und Nenner der Definition des Tangens:
1.Quadrant:

sin (+) cos (+) tan = \frac{sin (+)}{cos (+)} \to tan (+)

2.Quadrant:

sin (+) cos (-) tan = \frac{sin (+)}{cos (-)} \to tan (-)

3.Quadrant:

sin (-) cos (-) tan = \frac{sin (-)}{cos (-)} \to tan (+)

4.Quadrant:

sin (-) cos (+) tan = \frac{sin (-)}{cos (+)} \to tan (-)

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:31 Uhr, 19.05.2011

Mein problem ist dass ich mir die vorzeichen für den tangens in den Quadranten nicht herleiten kann/selbst überlegen kann.

funke_61 aktiv_icon

15:35 Uhr, 19.05.2011

und kommst Du nicht damit zurecht, dass zB. "

\frac{p l u s}{m i n u s}

\to

m i n u s

" ergibt, genau wie

\frac{+ 1}{- 1} = - 1

ist?

oder: "

p l u s \cdot m i n u s

\to

m i n u s

" wie

(+ 1) \cdot (- 1) = - 1

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:46 Uhr, 19.05.2011

doch danke
hab zu früh geantwortet, da war der untere Teil noch nicht da!!
Vielen dank!!!!***

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:48 Uhr, 19.05.2011

Vierte quadrant müsste

sin (-)

sein

LG :-)

funke_61 aktiv_icon

15:51 Uhr, 19.05.2011

Danke, hab meinen Fehler oben korrigiert, freut mich, dass Du es Dir jetzt vorstellen/herleiten kannst :-)

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:52 Uhr, 19.05.2011

Ich glaub deshalb freuen sich auch immer unsere Lehrer wenn wir sie "verbessern" :-) Das zeigt: ja ich habs verstanden !

Vielen dank
Liebe grüße

funke_61 aktiv_icon

08:42 Uhr, 20.05.2011

ja, genau ;-)
Daneben habe ich jetzt auch wieder begriffen, dass der Tangens am Einheitskreis (egal in welchem Quadranten der betrachtete Winkel liegt) immer eine senkrechte Strecke bleibt, die Teil der Tangente an den Einheitskreis beim Winkel

0 π

(bzw. 0°) ist.
Diese Strecke ist ja die Definition des Tangens und zeigt vom Winkel

0 π

entweder nach oben

(+)

oder nach unten

(-)

. Das Ende der Strecke ist immer der Schnittpunkt zwischen der Ursprungsgrade (durch den Mittelpunkt des Einheitskreis), die "den Winkel zeigt" und dieser Tangente, die den Tangens als Strecke enthält.
Mit dieser Vorstellung lassen sich vielleicht auch die senkrechten Asymtoten der Tangensfunktion (zB. bei "

\frac{π}{2}

") veranschaulichen, da sich ja zwei paralelle Geraden "erst" im Unendlichen scheiden.

http//de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens#Definition

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