Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Tangens hyperbolicus

Tangens hyperbolicus

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Eigenschaften Tangenshypebolicus

Mathegnom aktiv_icon

19:08 Uhr, 11.01.2011

Bei folgender Aufgabe weiß ich nicht, wie man auf den Lösungsansatz kommt und bitte daher um Hilfe.

Die Funktion Tangens hyperbolicus wird erklärt durch:

tanh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}

(a)

Zeigen Sie:

tanh (- x) = - tanh (x)

(d)

Geben Sie folgende Grenzwerte an:

lim tanh (x)

x→∞

lim tanh (x)

x→-∞

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

für

a)

lautet meine Rechnung:

- (\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}) = \frac{e^{- x} - e^{x}}{e^{- x} + e^{x}}

= - (\frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}} - \frac{e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}) = \frac{e^{- x}}{e^{- x} + e^{x}} - \frac{e^{x}}{e^{- x} + e^{x}}

= - \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}} = - \frac{e^{x}}{e^{x} + e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}

und das ist

tanh (- x) = - tanh (x)

bei Aufgabe

d

habe ich

tanh (x)

durch

e^{x}

gekürtzt

tanh (x) = \frac{e^{x}}{e^{x}} (\frac{1 - e^{- 2} x}{1 + e^{- 2} x})

und folgende Grenzwerte erhalten

lim tanh (x) = 1

x→∞

lim tanh (x) = - 1

x→-∞

Bei den folgenden Aufgaben weiß ich leider nicht weiter:

(b)

Zeigen Sie: die Funktion

tanh

ist streng monoton wachsend.

(c)

Zeigen Sie:

- 1 < tanh (x) < 1

(e)

Zeigen Sie: die Umkehrfunktion artanh von

tanh

lautet:
artanh(x)=

\frac{1}{2} ln (\frac{1 + x}{1 - x}), | x | < 1

(f)

Zeigen Sie: artanh'(x)

= \frac{1}{1 - x^{2}}, | x | < 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangensfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie