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Tangente Exponentialrechnung

Schüler Sonstige, 12. Klassenstufe

Tags: Punkt, Tangente

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18:27 Uhr, 11.02.2010

Noch eine Aufgabe heute, dann höre ich schon auf.

Also wie muss die Stelle

z >_{1}

gewählt werden, damit der y-Achsenabschnitt der Tangente

t

an den Graphen von

f (x) = 2 x \cdot e^{- x}

im PunktP

(z; f (z))

möglichst groß ist?

Hab keine Ahnung wie man vorgehen muss? Hab ein Bild zugefügt.. Bitte um Hilfe, da ich in April meine Abi-Prüfung hab

...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Kreise und Lagebeziehungen
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

mathemaus999

18:49 Uhr, 11.02.2010

Also,

zuerst bestimmst du die Tangente in

P

ganz allgemein.

Der Punkt

P

gehört zur Tangente und diese hat die Steigung

f' (z) .

Du musst also zuerst die Ableitung von

f

bestimmen.

f' (x) = (2 - 2 x) \cdot e^{- x}

Also ist

m = f' (z) = (2 - 2 \cdot z) \cdot e^{- z}

Jetzt kannst du das

n

(y-Achsenabschnitt) der Tangentengleichung bestimmen.

2 \cdot z \cdot e^{- z} = (2 - 2 \cdot z) \cdot e^{- z} \cdot z + n

Daraus folgt für

n

n = 2 \cdot z^{2} \cdot e^{- z}

Der Wert soll maximal werden, also Ableitung bilden und 0 setzen.
Das liefert als Lösungen

z = 0

und

z = 2

Also für

z = 2

wird der Abschnitt maximal.

Grüße

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18:58 Uhr, 11.02.2010

Hi vielen lieben Dank für dein bemühen, aber

Z

kann nicht 2 sein. Es muss

1 < z < 2

sein...

Oder nicht??

LG

mathemaus999

19:06 Uhr, 11.02.2010

Also,

ich wüsste nicht, warum die 2 nicht zugelassen sein soll. Außerdem kann man auch noch durch eine andere Überlegung zur Lösung kommen.

f

hat für

x = 2

einen Wendepunkt. Das heißt, die Tangenten sind ab

x = 2

wieder flacher, da die Funktion nicht mehr so stark fällt wie im Bereich zwischen 1 und 2. Bei 2 fällt

f

am stärksten, die Tangente zeigt damit am steilsten nach oben bzw. unten, je nach dem von wo man es betrachtet.

Grüße

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19:23 Uhr, 11.02.2010

Entschuldige. Du hast Recht! Mom bin ich einfach etwas durcheinander. Sry. Ich danke dir vielmals. Du hast mir sehr geholfen! Wünsche dir noch einen wunderschönen Abend.

LG

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19:53 Uhr, 11.02.2010

Ich habe noch ne Frage. Kannst du mir bitte genauer erklären, wie du das

n

ausgerechnet hast?

Bitte.

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20:02 Uhr, 11.02.2010

Und die erste Ableitung von was? Von n? Okay für

n =)

. Aber ich weiß immer noch nicht wie du

n

berechnet hast. Also bei mir habert es an der Zusammenfassung

: - (

mathemaus999

10:47 Uhr, 12.02.2010

Also,

die Tangente ist eine Gerade, hat also die Form

y = m \cdot x + n

m = f' (z)

und außerdem geht die Tangente durch

P (z; f (z))

Das setze ich in die Geradengleichung ein und erhalte

2 \cdot z \cdot e^{- z} = (2 - 2 z) \cdot e^{- z} \cdot z + n

Auf beiden Seiten

(2 - 2 z) \cdot e^{- z} \cdot z

subtrahieren liefert:

2 \cdot z \cdot e^{- z} - (2 - 2 z) \cdot e^{- z} \cdot z = n

2 \cdot z \cdot e^{- z} - (2 \cdot z - 2 z^{2}) \cdot e^{- z} = n

Jetzt klammerst du

e^{- z}

aus

(2 \cdot z - 2 \cdot z + 2 \cdot z^{2}) \cdot e^{- z} = n

Also

n = 2 \cdot z^{2} \cdot e^{- z}

n

hängt also von

z

ab, also kannst du schreiben:

n (z) = 2 \cdot z^{2} \cdot e^{- z}

Der Rest sollte dann klar sein.

Grüße

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