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Tags: Differentiation, Differenzenquotient, Funktionalanalysis, Funktionenreihen, reih, Taylorreihe

Cyborg aktiv_icon

14:00 Uhr, 02.12.2015

Hallo,

ich habe hier einen Abschnitt aus einem Buch, den ich nicht verstehe. Vielleicht kann mir ja jemand helfen?

Bild 1: Es geht um die Taylor-Reihe, die ersten beiden Summanden sind mir klar, nur wie komme ich auf das Landau-Symbol groß O von (delta t)²?

Auf der nächsten Seite verstehe ich den Übergang der 1. zur 2. Gleichung nicht (markierte Stelle auf Bild 2).

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte.

Bei dem Buch handelt es sich um Sonar, T. (2001). Angewandte Mathematik, Modellbildung und Informatik. S. 33-34.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

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DrBoogie aktiv_icon

14:09 Uhr, 02.12.2015

"Es geht um die Taylor-Reihe, die ersten beiden Summanden sind mir klar, nur wie komme ich auf das Landau-Symbol groß O von

(Δ t) ²

?"

Es gibt auch diese Form von Taylor-Darstellung, mit

O (\cdot)

. Oder man nimmt das Peano-Restglied (z.B.) und macht selber die entsprechende Abschätzung.

"Auf der nächsten Seite verstehe ich den Übergang der 1. zur 2. Gleichung nicht"

In der ersten Zeile steht

x^{(n + 1)} = (1 + r) x^{(n)}

. Das gilt für alle

n

, also auch für

n - 1

x^{(n)} = (1 + r) x^{(n - 1)}

. Also ersetzt man

x^{(n)}

durch

(1 + r) x^{(n - 1)}

. Das ist eine typische Iteration.

Cyborg aktiv_icon

18:38 Uhr, 05.12.2015

Hallo DrBoogie,

vielen Dank für deine schnelle Antwort :-)
ein paar kleine Fragen sind leider noch offen geblieben, vielleicht kannst du mir da ja auch nochmal helfen?

1. Wieso darf man den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten ersetzen?

2. Wieso geht die Abschätzung durch das Taylorpolynom nur bis n=2?

3. Wieso lässt man im nächsten Schritt beim dx/dt das (t) weg und kommt dann noch auf plus O(Δt)? Kann man einfach das O(Δt)² durch Δt teilen oder wie errechnet sich das?

4. Wieso ermittelt der Autor überhaupt das Taylorpolynom, das braucht er doch gar nicht für die anschließende Iteration?

Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen,

viele Grüße,
Cyborg

DrBoogie aktiv_icon

18:47 Uhr, 05.12.2015

Was der Autor zeigen will, kann ich an dem kleinen Ausschnitt, was Du gepostet hast, nicht erkennen. Und Deine anderen Fragen verstehe ich nicht wirklich. Du vergisst wohl, dass Du dieses Buch vermutlich schon länger liest, ich aber nur ein paar Zeilen daraus gesehen habe. Ich verstehe zum Teil nicht mal die Notation.

Cyborg aktiv_icon

19:06 Uhr, 05.12.2015

Hallo :-)

Oh, ich habe es wirklich ein bisschen unpräzise formuliert, tut mir leid. Ich versuche es nochmal neu:

Also ich verstehe diese Umformung nicht:

x (t + Δ t) = x (t) + Δ t \frac{d x}{d t} + O ((Δ) ²)

\overset{}{\Leftrightarrow} \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t} + O (Δ t)

Also Wieso lässt man beim dx/dt das (t) weg und kommt dann noch auf

+ O (Δ t)

? Kann man einfach das

O (Δ t) ²

durch

Δ t

teilen oder wie errechnet sich das?

DrBoogie aktiv_icon

19:15 Uhr, 05.12.2015

Du verstehst vermutlich nicht, dass unter

Δ x

das gemeint ist:

Δ x = x (t + Δ t) - x (t)

. Das ist einfach die Defininition vom

Δ x

.
Also teilt man einfach durch

Δ t

auf beiden Seiten.
Und nutzt, dass

O (Δ t^{2}) = Δ t \cdot O (Δ t)

Cyborg aktiv_icon

22:31 Uhr, 06.12.2015

Hey,
ja danke das hat mir schon sehr weitergeholfen :-)
Weißt du zufällig auch wieso man hier den Differentialquotienten durch den Differenzenquotienten ersetzen kann? Das ist mir noch nicht so klar...

DrBoogie aktiv_icon

22:46 Uhr, 06.12.2015

In welchem Sinne ersetzen?
Und was zum Kuckuck ist ein Differenzialquotient?

Das Buch ist übrigens grottenschlecht. Ich kriege einfach Ausschlag davon. :(

Cyborg aktiv_icon

11:49 Uhr, 11.12.2015

Hallo :-)
Ja das Buch ist wirklich schrecklich, leider muss ich es lesen und versuche es irgendwie nachzuvollziehen :/
Das mit dem Differentialquotienten und dem "ersetzen" hab ich im Text falsch verstanden, also meine Frage diesbezüglich hat sich geklärt.

Nun hab ich allerdings noch eine letzte Frage bezüglich des Taylorpolynoms

x (t + Δ t) = x (t) + Δ t d x / d t + O ((Δ t) ²)

Ich verstehe immer noch nicht ganz woher das Quadrat bei O((Δt)²) kommt.
Also in der allgemeinen Taylor-Reihe geht die Summe ja von k=0 bis n. Wieso geht sie hier dann bis n=2 oder woher stammt das Quadrat?

DrBoogie aktiv_icon

12:00 Uhr, 11.12.2015

Wenn man eine Funktion durch ein Taylorpolynom approximiert, gibt's ein "Restglied", denn die Approximation ist ja keine exakte Darstellung. Also kann man nicht schreiben

x (t + Δ t) = x (t) + x^{'} (t) Δ t

, sondern muss schreiben

x (t + Δ t) = x (t) + x^{'} (t) Δ t +

Restglied. Es gibt verschiedene Darstellungsformen des Restgliedes, z.B. Restglied nach Peano, nach Langrange oder Cauchy. Und eine der Formen ist halt

O (Δ t^{2})

. Das ist die einfachste von allen Formen, weil sie keine präzise Aussage macht, nur dass Restglied durch

C Δ t^{2}

beschränkt ist.
Kein Beweis, aber eine Rechtfertigung dafür, dass das Restglied wirklich durch

C Δ t^{2}

beschränkt ist, findest Du, wenn Du die Funktion durch ein Taylorpolynom des 2. Grades approximierst:

x (t + Δ t) = x (t) + x^{'} (t) Δ t + \frac{x ″ (t) Δ t^{2}}{2}

+Restglied (das hier ist ein anderes Restglied als oben!). Hier sieht man, dass

x (t + Δ t) - x (t) - x^{'} (t) Δ t = \frac{x ″ (t) Δ t^{2}}{2}

+Restglied

= O (Δ t^{2})

, wenn man die vernünftige Annahme trifft, dass Restglied "kleiner" ist als andere Terme. Für den strengen Beweis musst Du ein (besser vernünftiges) Buch oder Skript lesen.

Alle Restglieder kannst Du hier sehen:
de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel

Cyborg aktiv_icon

19:09 Uhr, 17.01.2016

Hallo DrBoogie,

vielen Dank nochmal für die ausführlichen Antworten.

Ich verstehe auf einmal nicht mehr wie man von dem Differenzenquotienten

\frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t} + O (Δ t)

auf die Rekursion

x^{(n + 1)} - x^{(n)} = r x^{(n)}

kommt.

also es gilt ja:

\frac{Δ x}{Δ t} = \frac{d x}{d t} + O (Δ t) = \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t}

also

\frac{d x}{d t} = \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} - O (Δ t)

und mit

Δ t = 1

folgt:

\frac{d x}{d t} = \frac{x (t + 1) - x (t)}{1} - O (1)

\frac{d x}{d t} = r x

gilt, müsste doch dann

r x (t) = x (t + 1) - x (t) - O (1)

gelten????

bzw - O (1) müsste Null ergeben, aber wieso?

Ich weiß, dass du das Buch nicht sonderlich magst, aber vielleicht kannst du mir ja trotzdem nochmal helfen? Vielen lieben Dank!!! :-)

abakus

19:33 Uhr, 17.01.2016

"Also Wieso lässt man beim dx/dt das (t) weg "
Man hat auf beiden Seiten -x(t) gerechnet und dann durch