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Teilbarkeit von Summen, Differenzen und Produkten
Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe
Tags: differenz, positiv, produkt, Summe, Teilbarkeit
 
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Jemand bildet aus zwei positiven ganzen Zahlen die Summe, die Differenz und das Produkt. Untersuche, ob es vorkommen kann, dass keines dieser drei Ergebnisse durch 3 teilbar ist. Ein paar Beispiele habe ich raus, aber mein Lehrer möchte gern den Satz bzw. den Beweis dafür wissen... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
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Ich würde folgendes notieren 1. Zahl 2. Zahl Summe Differenz a Produkt an Wenn und a durch drei teilbar sind, sind Summe, Differenz und Produkt durch drei teilbar |
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Hallo, ich habe dazu folgende Idee: Wir nehmen zwei Zahlen a und b, die beide ganzzahlig und größer 0 sind (a ungleich b). Wäre eine der beiden Zahlen durch 3 teilbar, wäre es auch das Produkt. Also dürfen a und b nicht durch 3 teilbar sein. In diesem Fall ist auch das Produkt nicht durch 3 teilbar. Bleiben also noch die Summe und die Differenz. Da a und b nicht durch 3 teilbar sind, bleiben bei ganzzahliger Division mit 3 immer nur die Reste 1 oder 2 übrig. Bei der Summe von a und b sowie deren Differenz betrachten wir auch nur die Reste bei ganzzahliger Division mit 3. Der Rest darf nicht 0 werden. Jetzt machen wir eine Tabelle, in deren Kopf a, b, a+b, und |a-b| stehen. Wenn man jetzt alle Kombinationen der Reste für a und b und a+b und |a-b| bezüglich der Reste bei ganzzahliger Division mit 3 einträgt, sieht man, dass es keine Zeile ohne eine Null gibt. Damit ist gezeigt, dass egal wie a und b gewählt werden, immer eines der Ergebnisse durch 3 teilbar ist.  |
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