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Teilverhältnis, Vektoren, Geraden

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gerade, Teilverhälnisse, Vektor

anonymous

21:32 Uhr, 29.05.2011

Guten Abend, ich lerne gerade für eine Klausur und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

In Fig. 3 schneiden sich die Geraden

g 1 : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix});

g 2 : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix});

g 3 : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

im Punkt S. Die eingezeichnete Gerade

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} u \\ v \end{matrix})

schneidet die Gerade

g 1, g 2

und

g 3

in den Punkten

P 1, P 2

und

P 3

.

Bestimmen Sie einen Richtungsvektor von

h

so, dass die Strecke

P 1 P 3

im Verhältnis

2 : 1

teilt.

Dann muss

\frac{P 1 P 2}{P 2 P 3} = 2

sein. Da die Geraden sich schneiden, habe ich versucht

h

und

g 1

gleich zu setzen. Dann habe ich zwar Ergebnisse für die Parameter, aber natürlich immer in Abhängigkeit von

u

und

v

. Mir fehlt also irgendwie der Ansatz. Vorallem weiß ich nicht, wie ich das vorgegeben Verhältnis mit einbringen soll. Ich hoffe mir kann jemand helfen!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Parallelverschiebung

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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10:00 Uhr, 30.05.2011

Hallo,
nette Aufgabe.
Es hilft vielleicht, wenn Du Dir vorstellt, dass die Punkte

P_{1}, P_{2}

und

P_{3}

auf den Geraden

g_{1}, g_{2}

und

g_{3}

liegen.
Allerdings musst Du verschiedene Parameter für den Richtungsvektor der einzelnen Geraden verwenden, um die Ortsvektoren der Punkte aufzustellen zB.

\vec{p_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{p_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

\vec{p_{3}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

da sonst die Punkte

P_{1}, P_{2}

und

P_{3}

nicht unabhängig "variabel auf diesen Geraden" sind.

Jetzt stellst Du einfach noch die Bedingung auf, dass die Vektoren sich wie

1 : 2

verhalten sollen:

\vec{P_{1} P_{2}} = 2 \cdot \vec{P_{2} P_{3}}

Wenn Du diese Vektorgleichung auswertest, dann erhältst Du zwei Gleichungen für Deine drei Unbekannten

t, r

und

s

.
Darüber sollte sich dann die "Richtung des Richtungsvektors" von

h

ermitteln lassen, indem man zB. einfach mal einen der Parameter

r, s

oder

t

"noch frei lässt".
Meine Zwischenlösung dazu ist:

\vec{p_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + 3 r (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{p_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})

\vec{p_{3}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + 3 r (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

wenn man nun damit den Vektor

\vec{P_{3} P_{1}}

aufstellt, ist das

\vec{P_{3} P_{1}} = \vec{p_{1}} - \vec{p_{3}} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + 3 r (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) - [(\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) + 3 r (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})] = 3 r (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) - 3 r (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = 3 r (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})

damit ist der Richtungsvektor von

h

bestimmt als

(\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})

Die genaue Lage der Geraden

h

ergibt sich ja daraus, dass mit dem "Aufpunkt"

(\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) \in h

ein Punkt der gesuchten Gerade

h

gegeben ist:

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \end{matrix}) + w (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})

;-)

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