Trigonometrie im Quader

Hallo zusammen,

wie schon der Titel meine Frage andeutet, geht es um Trigonometrie. Und zwar handelt es sich um eine "freiwillige" Aufgabe, die ich anfertigen soll. Nur leider hab ich irgendwie son richtige Brett vorm Kopf und weis einfach nicht so recht wie ich beginnen soll... vielleicht könnt ihr mir helfen.

"Bestimme einen Quader, bei dem der WInkel zwischen Flächen- und Raumdiagonale 30° beträgt."

kann man etwas mit der Formel für Flächen- bzw. Raumdiagonale anfangen?

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ {\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ä<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{\mathrm{a²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}} \end{gathered}$$

Vielen Dank schonmal im Vorraus

Fabian

P.S.: muss nicht unbedingt gleich die Lösung sein (will ich ehrlichgesagt auch nich) sondern eher so einen Denkanstoß bzw einen Ansatz.... aber wennns nicht "anders" geht auch die Lösung:-D

${\displaystyle \mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt{\frac{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}={30}^0}$

Auflösen nach a ergibt:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\frac{{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot ({\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)-1)+{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot {\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}{1-{\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\left(\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}}=\sqrt{\frac{{\frac{3}{4}\cdot \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\frac{1}{4}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}{\frac{1}{4}}}=\sqrt{{3\cdot \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$

Setze bzw. wähle b=c=1. Dann folgt:

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{{3\cdot 1}^2-1^2}=\sqrt{2}}$

danke für den Lösungsweg, aber kannstdu mir wohl noch erklären, woher das cos in dem Zähler/Nenner kommt. ist das dieses inv cos??

also hat sich doch eigentlich im nachhinein recht einfach rausgestellt..

also geggeben ist ja ein quader mit einem Winkel von 30° zwischen Flächen und Raumdiagonale. Nennen wir die Raumdiagonale ${\displaystyle {\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$. und die Flächendiagonale dementsprechend ${\displaystyle {\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$.

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{tan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{G<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \\ \mathrm{tan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(30\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}\approx \frac{57}{100} \\ \hookrightarrow \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\approx 57,\mathrm{735...} \\ \hookrightarrow \sqrt{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}=100|{\left(\right)}^2 \\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2=10.000 \\ \mapsto \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=80;\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=60;\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{100}{\sqrt{3}}} \end{gathered}$$