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Übungsaufgaben

Schüler

Tags: Extrema, Flächenberechnung, Nullstell, Tangentengleichung, unendlich, Wendepunkt

Lisa-Mathe aktiv_icon

15:18 Uhr, 28.02.2016

Gegeben ist die Funktionsschar

[

latex]

f (x) = (2 x + 2 a) e^{a - \frac{x}{2}}

[

/latex].

a)

Bestimmen Sie die Nullstellen, die Extrema und die Wendepunkte. Wie lautet die Gleichung der Wendetangente von

f 2

? Wie verhält sich fa für

x \to \frac{+}{-}

unendlichen

b)

Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema von fa.

c)

Die Funktionen der Schar erfüllen die Gleichungen

[

latex]fa(x)+ 2fa'(x)

= 4 e^{a - \frac{x}{2}}

. Weisen Sie nach, dass diese Aussage richtig ist. Ermitteln Sie damit eine Stammfunktion Fa von fa.

d)

Welche Fläche schließt der Graph von fa mit der x-Achse über dem Intervall

[- a; 2 - a]

ein?

e)

Der Graph

[

latex]g(x)= 1/10*f2(x)[/latex] beschreibt für [latex]x\geq0[/latex] modellhaft das Profil einer

20 m

breiten Piste in einer Indoor-Skihalle (1LE

= 10 m)

. Der Hallenboden liegt auf der x-Achse. Ein rechtwinkliges Trapez ist der Querschnitt des Unterbaus. Es wird begrenzt von den Koordinatenachsen, einer waagerechten Gerade durch den Wendepunkt von

g

sowie der zugehörigen Wendetangenten. Fertigen sie eine Situationsskizze an und ermitteln Sie, wie viele Kubikmeter Schnee zum Auffüllen des Unterbaus der Piste bei

60 m

waagerechter Länge benötigt werden.

Natürlich hab ich versucht auch bereits alles selbst auszurechen, ich würdeaber gerne eure meinung zu meinen Lösungen erfahren.

a)

Nullstellen
Sx

(0

und 2ae^(a))
Sy

(- a

und

0)

Extrema

H (2 - a

und

4 e^{2 a})

Wendepunkt

W (4 - a

und

8 e^{2 a - 2})

Wendetangente

y = - 5,43 x + 69,985

Verhalten im Unendlichen

lim (x \to -

unendlich)

= 0

lim (x \to +

unendlich)

= -

unendlich

b)

Ortskurve

g = 4 e^{- x + 4}

c)

gleichsetzen ergebniss stimmt und die Stammfunktion ist bei mir davon

- 12 e^{a - \frac{x}{2}}

d)

Fläche berechnen:

- 12 e^{- 2 a} + 12 e^{a}

da bin ich mir am unsichersten

und zu

e)

muss ich leider gestehen habe ich noch nichts,weil mir da der ansatz fehlt
außer das ich

g (x) = \frac{1}{10} \cdot f 2 (x)

das habe ich versucht mein ergebnis ist da

g (x) = (\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}) \cdot e^{- x}

eventuell würde ich es gerne mal mit einer skizze versuchen, könntet ihr mir helfen??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte
Flächenberechnung und bestimmtes Integral
Krümmungsverhalten
Tangente / Steigung
Wendepunkte

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

16:23 Uhr, 28.02.2016

f_{a} (x) = (2 x + 2 a) \cdot e^{a - \frac{x}{2}} = (2 x + 2 a) \cdot e^{- (a + \frac{x}{2})} = \frac{2 x + 2 a}{e^{a + \frac{x}{2}}}

Nullstellen:

(2 x + 2 a) = 0

x = - a

. .

.
Extremwerte:

[\frac{2 x + 2 a}{e^{a + \frac{x}{2}}}]

= \frac{2 \cdot e^{a + \frac{x}{2}} - (2 x + 2 a) \cdot e^{a + \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}}{{(e^{a + \frac{x}{2}})}^{2}} = \frac{2 - (2 x + 2 a) \cdot \frac{1}{2}}{e^{a + \frac{x}{2}}} = \frac{2 - x - a}{e^{a + \frac{x}{2}}}

\frac{2 - x - a}{e^{a + \frac{x}{2}}} = 0

x = 2 - a

...

[\frac{2 - x - a}{e^{a + \frac{x}{2}}}]

= \frac{(- 1) \cdot e^{a + \frac{x}{2}} - (2 - x - a) \cdot (e^{a + \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2})}{{(e^{a + \frac{x}{2}})}^{2}} = \frac{(- 1) - (2 - x - a) \cdot \frac{1}{2}}{e^{a + \frac{x}{2}}} = \frac{- 2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} a}{e^{a + \frac{x}{2}}}

Art des Extremums:

f

´ ´

(2 - a) = \frac{- 2 + \frac{1}{2} (2 - a) + \frac{1}{2} a}{e^{a + \frac{2 - a}{2}}} = \frac{- 1}{N e n n e r} < 0 \to

Maximum

Wendepunkt:

(- 2 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} a) = 0

\frac{1}{2} x = 2 - \frac{1}{2} a

x = 4 - a

und

y = . .

.

mfG

Atlantik

Lisa-Mathe aktiv_icon

16:29 Uhr, 28.02.2016

Also scheinen meine Ergebnisse zu stimmen...

Leider ist dadurch aber nur a zum Teil beantwortet worden... Mir gehts mehr darum ob die ergebnisse von

b, c,

und

d

stimmen und bei

e

benötige ich hilfe..

Atlantik aktiv_icon

16:43 Uhr, 28.02.2016

Schade , bei mir ist die Umformung in der 1. Zeile falsch:

Es muss heißen:

f_{a} (x) = (2 x + 2 a) \cdot e^{a - \frac{x}{2}} = (2 x + 2 a) \cdot e^{- (\frac{x}{2} - a)} = (2 x + 2 a) \cdot e^{- (\frac{x}{2} - a)} = \frac{2 x + 2 a}{e^{\frac{x}{2} - a}}

Entschuldigung!!

mfG

Atlantik

Lisa-Mathe aktiv_icon

16:54 Uhr, 28.02.2016

Sei mir nicht böse, aber ich brauche richtige antworten zu meiner Aufgabe. Damit hilfst du mir leider überhaupt nicht.

Eva88 aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.02.2016

b)

Ortskurve:

Ich habe

4 e^{2 - 1,5 x}

raus.

Lisa-Mathe aktiv_icon

18:10 Uhr, 28.02.2016

Hallo,

anbei meine Lösungswege ein Teil davon.

LG

Eva88 aktiv_icon

18:25 Uhr, 28.02.2016

x = 2 - t

und

t = 2 - x

Jetzt

x \in f (x)

einsetzen

(2 (2 - t) + 2 t) \cdot e^{t - 0,5 (2 - t)}

4 \cdot e^{1,5 t - 1}

jetzt

t = 2 - x

einsetzen

4 \cdot e^{1,5 (2 - x) - 1}

4 e^{2 - 1,5 x}

Eva88 aktiv_icon

18:30 Uhr, 28.02.2016

Ich habe als Stammfunktion von

4 \cdot e^{a - 0,5 x}

die Funktion

- 8 \cdot e^{a - 0,5 x}

raus.

Roman-22

19:07 Uhr, 28.02.2016

Um einer drohenden Genickstarre zu entgehen habe ich mir deine Ausarbeitung jetzt nicht angesehen und beziehe mich daher nur auf deine ursprpngliche Frage.

> a)

Nullstellen

>

(0

und 2ae^(a))

>

Sy (−a und

0)

Naja, als Nullstelle wird genau genommen nur der x-Wert jener Stelle bezeichnet, an der

y = 0

gilt. Hier gehts aber nur um den Unterschied zwischen "Stelle" und "Punkt"
Was du aber als Sx bezeichnet hast, also jenen Punkt, in dem der Graph die y-Achse schneidet

(\to x = 0),

das ist sicher nicht mit Nullstelle gemeint.

>

Extrema H(2−a und

4 e 2 a)

Hier kann man trefflich darüber diskutieren, ob die Extremstelle oder der Extrempunkt gemeint ist. Dein y-Wert ist aber jedenfalls falsch, denn der Hochpunkt liegt bei

H (2 - a / 4 \cdot e^{\frac{3}{2} a - 1})

. Vermutlich ist deswegen auch

b)

bei dir falsch.
Hast du auch wirklich mithilfe der zweiten Ableitung geprüft, ob ein Hochpunkt vorliegt?

f_{a} (2 - a) = - e^{\frac{3}{2} a - 1} < 0 \Rightarrow

lokales Maximum

>

Wendepunkt W(4−a und 8e2a−2)
Auch hier ist der y-Wert falsch.

W (4 - a / 8 \cdot e^{\frac{3}{2} a - 2})

Auch hier sollte die Überprüfung

f''' (4 - a) \neq 0

erfolgen.

>

Wendetangente y=−5,43x+69,985
Logischerweise auch falsch. Der Anstieg ist richtig (nur falsch gerundet), aber der Ordinatenabschnitt ist falsch.

t_{W} : y = 2 \cdot e \cdot (6 - x) \approx - 5,437 \cdot x + 32,619

>

Verhalten im Unendlichen lim(x→− unendlich)

= 0

>

lim(x→+ unendlich) =− unendlich
Falsch! Genau umgekehrt!

lim_{x \to + \infty} f_{a} (x) = 0

lim_{x \to - \infty} f_{a} (x) = - \infty

> b)

Ortskurve

>

g=4e−x+4
Hier hat dir Eva schon die richtige Lösung

y = 4 \cdot e^{2 - \frac{3}{2} x}

verraten.

> c)

gleichsetzen ergebniss stimmt und die Stammfunktion ist bei mir davon −12ea−x2
Das Ergebnis ist mit einem "s" am Ende ganz zufrieden, aber deine Stammfunktion ist nicht richtig.
Eine Stammfunktion von

f_{a} (x)

wäre

F_{a} (x) = - 4 \cdot e^{a - \frac{x}{2}} \cdot (a + x + 2)

.
Außerdem sollst du nicht einfach

f_{a} (x)

integrieren

(F_{a} (x) = \int f_{a} (x) d x),

sondern die gegebene Beziehung nutzen, sie nach

f_{a} (x)

umstellen und dann integrieren (den Sinn darin kennt nur der Aufgabensteller):

F_{a} (x) = \int 4 \cdot e^{a - \frac{x}{2}} d x - 2 \cdot f_{a} (x) = . .

> d)

Fläche berechnen: −12e−2a+12ea

>

da bin ich mir am unsichersten
Zu Recht! Vielleicht schlagen auch die falschen Ergebnisse von vorhin durch.
Jedenfalls:

A_{d} = 8 \cdot (e - 2) \cdot e^{\frac{3}{2} a - 1}

>

und zu

e)

muss ich leider gestehen habe ich noch nichts,weil mir da der ansatz fehlt

>

außer das ich g(x)=110⋅f2(x) das habe ich versucht mein ergebnis ist da

>

g(x)=(15x+25)⋅e−x
Da musstest du doch nur einsetzen und leider stimmt das auch nicht! Es scheint du rechnest gern

a \cdot \frac{x}{2}

anstelle von

a - \frac{x}{2}

g (x) = (\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}) \cdot e^{2 - \frac{x}{2}}

>

eventuell würde ich es gerne mal mit einer skizze versuchen,
Jaaaaa!! Das ist doch bei Aufgaben dieser Art nahezu Pflicht!

>

könntet ihr mir helfen??
Siehe beigefügte Skizze!
Es geht um die gelbe Fläche und die sollte sich mit

A_{e} = \frac{4}{5 e} \cdot (2 e^{3} - 4 e^{2} - 5) \approx 1,652

einstellen. Wegen der Skalierung noch mit

10^{2}

multiplizieren und dann noch mit

20,

wegen der Pistenbreite. Sollte ein Volumen von ca.

3305 m^{3}

Schnee ergeben.

Ich habs nur schnell runtergenudelt, daher alle Angaben ohne Gewähr!

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

21:16 Uhr, 28.02.2016

Vielen Dank für die schnelle Antwort genau so eine ausführliche Antwort habe ich gesucht.

Leider hab ich denn noch beim extrempunkt eine Rückfrage:
Wie kommst du bei der hoch stelle auf

\frac{3}{2} a

Das ergibt sich bei mir irgendwie nicht die eins versteh ich die hab ich irgendwie vergessen auf das Blatt zu schreiben die wollte wohl nicht.

Eva88 aktiv_icon

21:21 Uhr, 28.02.2016

\frac{2 - a}{2} = 1 - 0,5 a

du hast nur die 2 im Zähler berücksichtigt.

Lisa-Mathe aktiv_icon

21:30 Uhr, 28.02.2016

Vielen Dank für die schnelle Antwort eigentlich war es ja logisch. Sollte ich morgen noch fragen habe wende ich mich vertrauensvoll an euch.

Lisa-Mathe aktiv_icon

12:17 Uhr, 29.02.2016

Hallo,

ich hab mal

c

ausgerechnet so wie das Roman aufgeschrieben hat, bin mir dennoch nicht ganz sicher ob das so richtig ist.. ich würde nämlich sonst die Stammfunktion von der Ausgangsfunktion

4 e^{a - \frac{1}{2} x}

nehmen und die Stammfunktion davon ist

- 8 e^{a - \frac{1}{2} x}

Und für

d

muss ich die stammfunktion von

c

dann nehmen oder?

Und für

e

muss ich dann von

g

noch die stammfunktion bilden.. Was setze ich denn da nun für Intervalle ein..

Roman-22

13:47 Uhr, 29.02.2016

>

bin mir dennoch nicht ganz sicher ob das so richtig ist..
ist es nicht

>

ich würde nämlich sonst die Stammfunktion von der Ausgangsfunktion 4ea−12x nehmen und die Stammfunktion davon ist −8ea−12x
Ja,das wäre eindeutig die bessere Idee. Du kannst doch nicht den Teil, den du nur subtrahieren sollst (die

- 2 \cdot f_{a} (x))

einfach so munter ins Integral hinein ziehen!

>

Und für

d

muss ich die stammfunktion von

c

dann nehmen oder?
Ja, kannst du.

ad

e)

Was soll in der fünften Zeile das "=" davor? Das ist doch sicher nicht die Fortsetzung der oberen Zeile. Also gib an, was du da glaubst zu berechnen.

>

Was setze ich denn da nun für Intervalle ein..
Du meinst die Integralgrenzen?
Die kannst du doch aus der Zeichnung ablesen.

0,

x-Koordinate Wendepunkt und 6
Bevor du aber mit Integrieren loslegen kannst, benötigst du den Wendepunkt und die Gleichung der Wendetangente. Der Wendepunkt wird in der x-Koordinate wohl mit jenem von

f_{2} (x)

übereinstimmen, seine y-Kordinate wird

\frac{1}{10}

jener vom Wendepunkt von

f_{2} (x)

sein.

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

14:25 Uhr, 29.02.2016

Nun versuche ich es nochmal:

für

c)

wäre meine Lösung der Stammfunktion -2*fa(x) ist:

e^{a - \frac{x}{2}} (- 8 - 4 x - 4 a)

für

d)

die beiden vorgegebenen Integralle eingesetzt:

e^{\frac{3}{2} a - 1} (- 16) - e^{\frac{3}{2} a} (- 8)

das kann ich doch bestimmt auch noch zusammenfassen oder?

für

e)

das zeichen in der 5 Zeile ist ein

=,

ab da beginne ich das Integral auszurechnen, ich hab es nochmal neu aufgeschrieben inkl. Zeichnung

g (x) = e^{2 - \frac{x}{2}} (- \frac{2}{5} x)

Danke

Lisa-Mathe aktiv_icon

14:27 Uhr, 29.02.2016

Siehe bilder

Roman-22

14:39 Uhr, 29.02.2016

>

für

c)

wäre meine Lösung der Stammfunktion -2*fa(x) ist: ea-x2(-8-4x-4a)
Ja ist richtig. Du kannst ja mit meinen Lösungen von gestern jederzeit vergleichen

>

für

d)

die beiden vorgegebenen Integralle eingesetzt:

e 32 a - 1 (- 16) - e 32 a (- 8)

Ist auch richtig

>

das kann ich doch bestimmt auch noch zusammenfassen oder?
Ja, zB so, wie ich das gestern gemacht habe. Was ein optimal vereinfachter Ausdruck ist, ist aber oft auch nur Geschmacks- und Ansichtssache.

>

ab da beginne ich das Integral auszurechnen,
Eben. Welches Integral? Mir ist nicht klar, was du da machst.

> g (x) = e^{2 - \frac{x}{2}} (- \frac{2}{5} x)

Nein, das ist nicht

g (x)

. Es ist aber auch nicht

g' (x)

und auch nicht

\int g (x) d x

.
Was also soll das darstellen?

Ergänzung:

Zur Kontrolle:

\int g (x) d x = - \frac{1}{5} \cdot (2 x + 8) \cdot e^{2 - \frac{x}{2}} + C

Du könntest dazu ja auch das Ergebnis von

c)

verwenden, nur eben

\cdot \frac{1}{10}

.

Die Gleichung der Wendetangente in

e)

scheinst du von

a)

übernommen zu haben ohne zu berücksichtigen, dass du mit

g (x)

ja eine andere Funktion vor dir hast. Natürlich ist auch die erste Ableitung durch

10

zu teilen und das beeinflusst dann eben auch den Ordinatenabschnitt.

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

14:49 Uhr, 29.02.2016

super jetzt hab ich wenigstens mal

c

und

d)

dennoch zu

c)

warum rechneich eigentlich -2*fa(x)?? da ergibt sich der Sinn bei mir nicht

e)

ich rechne

g (x) = \frac{1}{10} \cdot f 2 (x)

g (x) = (\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}) \cdot e^{2 - \frac{x}{2}}

Davon rechne ich nun die stammfunktion aus, die ich dann für die Intervallgrenzen benötige
da kommt bei mir

[e^{2 - \frac{x}{2}} (- \frac{2}{5} x)]

raus

Ich hoffe ich habe es nun so erklärt das man es verstehen kann..
und bei der Stammfunktion nehme ich die Intervalle

[0; 6]

da kommt dann

- 0,88

raus

mit dem Wendepunkt

(2

und

8 e^{1})

y = 8 e^{1} \cdot \frac{1}{10} = 2,18

= 21,8 m

Bei deiner ergenzung verstehe ich leider nicht wie du auf 8 kommst, da die ausgangsgleichung

(2 x + 2 \cdot 2) e^{2 - \frac{x}{2}}

Roman-22

15:00 Uhr, 29.02.2016

> c)

warum rechneich eigentlich -2*fa(x)??
Die Aufgabe bei

c)

war, zu zeigen, dass

f_{a} (x) + 2 f_{a}' (x) = 4 e^{a - \frac{x}{2}}

gilt.
Das hast du durch Nachrechnen getan. die Beziehung gilt also.
Nun können wir sie nach

f_{a} (x)

auflösen:

f_{a} (x) = 4 e^{a - \frac{x}{2}} - 2 f_{a}' (x)

Und wenn wir nun beidseits integrieren landen wir eben bei

F_{a} (x) = \int 4 e^{a - \frac{x}{2}} d x - 2 f_{a} (x)

Es war ja verlangt "Ermitteln Sie damit eine Stammfunktion" und dieser Weg hat immerhin den Vorteil, dass man sich das partielle Integrieren spart.

>

Ich hoffe ich habe es nun so erklärt das man es verstehen kann..
Ja, aber deine Stammfunktion stimmt eben nicht. Siehe meine Ergänzung in obiger Antwort.

>

und bei der Stammfunktion nehme ich die Intervalle

[0; 6]

da kommt dann

- 0,88

raus
Und warum integrierst du einfach von 0 bis 6? Glaubst du wirklich, damit die in meiner Zeichnung gelb unterlegte Fläche berechnen zu können?
Du bekommst damit die gelbe plus der der braunen Fläche und müsstest dann eben die Trapezfläche abziehen. Wär auch eine Möglichkeit. Das richtige Ergebnis kennst du ja schon.

Warum glaubst du, dass der Wendepunkt bei

(2 / 8 e)

liegt? Das ist falsch. Es geht doch um

g (x),

nicht um

f_{2} (x)!

Wie bist du denn mit dem falschen Wert auf deine Zeichnung gekommen?

Außerdem musst du natürlich auch noch zeigen, dass die Wendetangente die x-Achse bei

x = 6

schneidet.

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

15:22 Uhr, 29.02.2016

Ich bin auf meine Skizze gekommen indem ich die Wendetangente

y = - 5,4365 x + 32,619

genommen habe und diese in den Taschenrechner eigegeben habe mit Wertetabelle und dieser schneidet die skizze genau so wie abgebildetan der türkisen linie, so wie bei deiner skizze die blau gestrichelte linie die man links oben sehen kann

nun habe ich es nochmal versucht

g (x) = (\frac{1}{5} x + \frac{2}{5}) e^{2 - \frac{x}{2}}

g´(x)=

e^{2 - \frac{x}{2}} (- \frac{2}{5} x - \frac{3}{5})

g´´(x)=

e^{2 - \frac{x}{2}} (\frac{4}{5} x + \frac{4}{5})

davon nun

x

ausgerechnet
1. Faktor:

0 = e^{2 - \frac{x}{2}} n

l

.
2. Faktor:

0 = (\frac{4}{5} x + \frac{4}{5})

- \frac{4}{5} = \frac{4}{5} x

- 1 = x

(- 1

und

2,43)

Wendetangente

g (x)

y=mx+n
m=g´(-1)=-2,436

y=mx+n

2,436 = - 2,436 \cdot (- 1) + n

0 = n

Wendetangente

y = - 2,436 x

das stimmt doch bestimmt auch nicht oder

Roman-22

15:37 Uhr, 29.02.2016

>Ich bin auf meine Skizze gekommen indem ich die Wendetangente y=−5,4365x+32,619 genommen habe und diese in den Taschenrechner eigegeben

>

habe mit Wertetabelle und dieser schneidet die skizze genau so wie
Nein - schau auf die Skalierung!
Bei meiner und auch bei deiner Skizze schneidet die Wendetangente die y-Achse bei

3,26

. Mit deiner Gleichung aber bei

32,6!

Das ist eben der Effekt der Skalierung mit

\frac{1}{10},

die durch

g (x)

vorgenommen wird.
Oder rechnest du bereits mit der realen Einheit Meter. Das müsste dann aber auch dabei stehen und ich würde eher davon abraten.

Leider stimmt bereits deine Ableitung

g' (x)

nicht. Weiß nicht, wie du drauf kommst.
Richtig wäre

g' (x) = - \frac{x}{10} \cdot e^{2 - \frac{x}{2}}

Die Gleichung der Wendetangente entsteht aus der Gleichung der Wendetangte von

f_{2}

einfach, indem alles durch

10

dividiert wird, also

y = - 0,544 \cdot x + 3,262

.
Aber rechne es übungshalber ruhig neu durch - das kann nicht schaden.

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

15:43 Uhr, 29.02.2016

Jetzt versteh ich bald überhaupt nichts mehr sorry.. Du erklärst es sehr gut aber ich komme schon komplett durcheinander..anbei ein Bild wie ich meine Ableitungen gemacht habe döse habe ich bisher immer so gerechnet

Roman-22

15:46 Uhr, 29.02.2016

Bei

a)

hast du doch eine ganz ähnliche Funktion (bis auf die

\frac{1}{10})

durchaus differenzieren können, oder?
Da hast du in der zweiten Zeile differenzieren mit integrieren durcheinander gebracht. Anstelle von

- 2

im letzten Summanden gehört die innere Ableitung

(- \frac{1}{2})

und bitte unbedingt eine Klammer setzen!

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

15:59 Uhr, 29.02.2016

Jetzt aber HOFFENTLICH

g´(x)

= e^{2 - \frac{x}{2}} (\frac{1}{10} x)

g´´(x)

= e^{2 - \frac{x}{2}} (\frac{1}{10} - \frac{1}{20} x)

x = 2

WP(2/2,17)

Wentetangtente
m=g´(2)=

0,54

y=mx+n

2,17 = 0,54 \cdot 2 + n

n = 1,09

aber nachdem es richtig wäre, der nächste schritt wäre dann nochmal genau was?

und das mit dem

n

kann ja eigentlich wieder nicht stimmen, mein kopf raucht schon :-)

Roman-22

16:13 Uhr, 29.02.2016

>

Jetzt aber HOFFENTLICH
Fast! Warum vergleichst du nicht mit den Lösungen, die man dir schon mehrmals gegeben hat? Sowohl die richtige Ableitung

g' (x)

als auch die Gleichung der Wendetangente stehen weiter oben bereits vorgegeben.
Bei

g' (x)

ist das Vorzeichen falsch.

R

Lisa-Mathe aktiv_icon

21:42 Uhr, 29.02.2016

Ich würde mir nun für die komplette aufgabe noch wünschen, dass dies meine letzte Frage ist.

Also deine erste Nachricht von Roman mit

A \frac{4}{5} e . .

. versteh ich nicht genau wie die darauf kommst

Ich habe nun für

e)

WP und Wendetangente ausgerechnet und es stimmt nun auch mit den Lösungen die du mir übermittelt hast überein..

Nun weiss ich dennoch leider nicht so ganz, wie ich damit weiterrechnen soll..
Das ich intervallgrenzen benötige, weiß ich aber wie ich darauf komme nicht

ich habe mir auch nochmal deine skizze angesehen, wie zeichnest du den die rote linie ein? selbst gefunden das ist

g (x)

Du hast auch noch geschrieben es muss die gelbe fläche berechnet werden, nach mehrmaligen durchlesen der aufgabenstellung steht doch nur das der unterbau der piste und das ist ja nur das trapez oder nicht??
Weil wenn es so wäre könnte ich ja

A 1

a \cdot b = 20 \cdot 21,7

= 434m²

A 2

a \cdot \frac{b}{2} = 40 \cdot \frac{21,7}{2}

=434m²

A1+A2=868m²

Agesamt

\cdot

länge

868

m²

\cdot 20 m = 17360

m²

ODER

muss ich davon einfach die Fläche im Integral von

0; 6

von der Stammfunktion von

g (x)

abziehen dann hätte ich wiederrrum nur das gelbe

Roman-22

22:55 Uhr, 29.02.2016

>

...)

Und darauf wird nun Schnee so aufgeschüttet, dass eine Piste mit dem roten Profil

g (x)

entsteht. Dass gerade beim Wendepunkt, also an der steilsten und damit schnellsten Stelle, im Grunde gar kein Schnee aufgetragen wird, ist nicht sonderlich schlau, soll uns bei der Berechnung aber nicht kümmern.

>

Weil wenn es so wäre könnte ich ja

. .

.
Die Berechnungen kann ich nicht nachvollziehen, da du nicht schreibst, was a und

b

sein soll und welche Flächen

A_{1}

und

A_{2}

sein sollen und was diese mit den gesuchten Flächen zu tun haben.

Im Grunde mußt du einmal ausrechnen, wo die Wendetangente die x-Achse schneidet

(x = 6)

. Danach kann man die gelbe Fläche auf unterschiedliche Arten berechnen:

1)

zusammenstückeln aus drei Flächen:

a)

von

x = 0

bis

x = x_{W}

die Fläche zwischen

g (x)

und der Waagrechten

y = y_{w}

b)

von

x = x_{W}

bis zum Ende der Rampe bei

x = 6

die Fläche zwischen

g (x)

und der Wendetangente

c)

von

x = 6

bis zum Ende der Piste einfach die Fläche unter

g (x)

.
Da laut Angabe nur ein

60

Meter langer Pistenteil berücksichtig werden soll, hört die Piste "zufälligerweise" genau beim Ende des Trapezkeils auf und

c)

entfällt somit

2)

Vermutlich die einfachere Variante.

a)

Fläche unter

g (x)

(bis zu x-Achse) von

x = 0

bis zum Ende der Piste (hier also

x = 6)

b)

davon wird nun die Trapezfläche subtrahiert. Vom Trapez kennt man die Höhe mit

y_{W},

die längere Grundseite mit 6 und die kürzere Grundseite mit

x_{W}

R

P . S . :

Nachdem ich es bei meiner ersten Antwort eher schludrig nach Variante 1 gerechnet hatte, hab ich es jetzt nochmal nach Varinate 2 durchgerechnet und kann bestätigen, dass das damals gegebene Ergebnis stimmt.

Die gelbe Fläche beträgt ca.

1,652

(natürlich im Zeichnungsmaß) und muß wegen der gegebenen Skalierung dann eben noch mit

10^{2}

und wegen der Pistenbreite mit

20

multipliziert werden, um das Volumen von ca.

3304,94 m^{3}

Schnee zu ergeben.

P . P . S . :

Bemerke gerade, dass deine

A_{1} + A_{2}

offenbar die mit ungenauen gerundeteten Werten berechnete Trapezfläche bereits in real world Maßen sein soll. Diese Fläche stell sich in Zeichenkorrdinaten mit

\frac{16}{5} \cdot e \approx 8,6985

ein und entspricht dann ca.

869,85 m^{2}

. Aber genau da ist eben wie oben ausgeführt KEIN Schnee. Das ist nur der Unterbau. Diese Fläche mußt du eben bei Variante

2)

von

\int_{0}^{6} g (x) d x

subtrahieren (natürlich in Zeichnungskoordinaten) um die gelbe Schneefläche zu erhalten.

Lisa-Mathe aktiv_icon

23:26 Uhr, 29.02.2016

Vielen Dank für deine raschen Antworten immer. Ich hab mich auch für Variante zwei entschieden. Leider hab ich dennoch um

20

mehr raus als du beziehungsweise

40

mehr raus als du könntest du noch mal ganz kurz darüber zehn

Christian- aktiv_icon

23:27 Uhr, 29.02.2016

Mal ganz nebenbei Lisa, ich finde deine Schrift so süß^^

Die ist so schön weiblich und so , hehe; )

Ich verstehe die Aufgabe, aber das Problem ist, das Roman einen perfekten Text geschrieben hat, sodass ich nichts hinzusetzen brauche, warten wir ab, ob du es dadurch besser verstehst.

Roman-22

06:54 Uhr, 01.03.2016

>

Leider hab ich dennoch um

20

mehr raus als du beziehungsweise

40

mehr raus als du
Ja, das ist der Fluch der Skalierung.
Eine Ungenauigkeit von nur einem Hunderstel bei der Fläche in Zeichnungskoordinaten bewirkt bereits einen Unterschied von

20 m^{3}

Schneevolumen!!

Auch wenn Christian deine Schrift entbehrlicherweise "süß" findet, so ist das, was du schreibst, nicht akzeptabel. In der ersten Zeile steht noch

g (x)

und dann gehts in der zweiten Zeile mit "=" weiter und offenbar integrierst du da aber bereits ohne es anzuschreiben, was du da machst. Und irgendwann mitten in der Rechnung fallen dann auch noch die Integralgrenzen vom Himmel. Entweder du schleppst die von Anfang an mit oder du ermittelst das unbestimmte Integral erst in einer klar ausgewiesenen Nebenrechnung und berechnest dann damit das bestimmte Integral.

Dein Rechengang an sich ist jetzt OK, aber ich verstehe nicht, warum du so eine Scheu davor hast, genaue Werte zu verwenden und anzuschreiben. Tippst du so gern Ausdrücke in deinen TR ein und schreibst dann das Ergebnis ab? Wozu?
Das bestimmte Integral liefert genau eben

\frac{8}{5} \cdot e^{2} - \frac{4}{e} = \frac{8 e^{3} - 20}{5 \cdot e}

. Das würde gerundet

10,350972

ergeben, aber das interessiert eigentlich noch niemanden. Also lass doch das genaue Ergebnis stehen.

Ebenso deine a und

b,

von denen du irgendwann mal schreiben solltest, welche Bedeutung sie haben und woher sie stammen. Es sind doch die Koordinaten des Wendepunkts, die ich

x_{W}

und

y_{W}

genannt habe. Mit deiner Bezeichnung ist

a = 2,

aber

b = \frac{4}{5} e,

das ist zwar gerundet

b \approx 2.17463,

aber mit gerundeten Werten darf man doch nicht weiter rechen. Also verwende den exakten Wert, der schreibt sich doch auch leichter.
Damit wird dein

A_{1} = \frac{8}{5} e (\approx 4,349251,

interessiert aber nicht) und bei

A_{2}

(da hat bei dir a schon wieder eine andere Bedeutung - ein absolutes NO-GO!!) ergibt sich das gleiche Ergebnis

A_{2} = \frac{8}{5} e

.
Abgesehen davon könntest du ja gleich auch die "Formel" für die Fläche von einem Trapez verwenden

\to \frac{1}{2} \cdot (6 + x_{W}) \cdot y_{W} = \frac{1}{2} \cdot (6 + 2) \cdot \frac{4}{5} e = \frac{16}{5} e

.
Die Differenz und Gesamt("schnee")fläche ist dann eben

A = \frac{8}{5} e^{2} - \frac{4}{e} - \frac{16}{5} e = \frac{4}{5 e} \cdot (2 e^{3} - 4 e^{2} - 5) \approx 1,6524701425

und da haben wir schon eine Rundungsdifferenz von ca. 2 Hunderstel zu deinem Ergebnis. Multipliziert mit

2000 m^{3}

um das Schneevolumen zu erhalten macht das dann eben den Unterschied von ca.

40 m^{3}

aus.

Also immer Achtung beim Rechnen mit gerundeten Werten. Entweder und vorzugsweise rechnest du mit genauen Ausdrücken (Brüche, Wurzeln,

π, e, ...)

so wie das hier ja leicht geht. Wenn es sich nicht vermeiden lässt, gerundete Werte für weitere Rechnungen zu verwenden, dann musst du zumindest mit TR-Genauigkeit, also unter Verwendung der Speicher deines TRs, weiter rechnen. Einfach nur drei Nachkommastellen hinschreiben und damit dann auch noch weiter rechnen, das geht nicht. Wie du siehst, führt das

u . U

. zu recht gravierenden Unterschieden im Ergebnis.

Was sollen wir nun mit deinen überschüssigen

40 m^{3}

Schnee machen? Wir könnten die upperen Stellen beim Wendepunkt damit ein wenig kaschieren.

R

1293649

1293295

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