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Umkehrfunktion bilden

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Tags: Definitionsbereich, Umkehrfunktion

Y-1301 aktiv_icon

20:19 Uhr, 17.10.2017

Hallo zusammen,

ich suche für folgende Funktion die zugehörige Umkehrfunktion:

y = (\frac{1}{8}) \cdot x^{3} + (\frac{51}{8}) \cdot x^{2} - (\frac{153}{8}) \cdot x + (\frac{153}{8})

Diese ist nicht eindeutig, die Umkehrfunktion muss jedoch nur für

x > 2

gelten.

WolframAlpha habe ich auch schon probiert, dort habe ich jedoch nicht herausgefunden, wie man den Definitionsbereich eingrenzt. Es wird zwar eine Umkehrfunktion ausgespuckt, diese funktioniert jedoch nur in einem eingeschränkten Bereich.

Wisst ihr vielleicht, wie ich hier vorgehen kann?

Viele Grüße
Yannick

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:26 Uhr, 17.10.2017

y

nach rechts. Gleichung mit 8 multiplizieren und kubische Gleichung mit Cardano-Formel lösen.

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Y-1301 aktiv_icon

18:57 Uhr, 18.10.2017

Erstmal danke für die schnelle Antwort.

Leider habe ich von den Cardano-Formeln noch nie etwas gehört, und diese übersteigen meine Mathekenntnisse doch deutlich.

Ich habe daher weiter mit WolframAlpha herumprobiert. Dort erhalte ich eine Lösung:

y = 2^{\frac{1}{3}} \cdot {(({(4 \cdot x^{2} - 12580 \cdot x + 65025)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot x - 3145)}^{\frac{1}{3}} + \frac{170 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{{(({(4 \cdot x^{2} - 12580 \cdot x + 65025)}^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot x - 3145)}^{\frac{1}{3}}} - 17

In dieser kommt jedoch zweimal der gleiche Wurzel-Term vor:

{(4 \cdot x^{2} - 12580 \cdot x + 65025)}^{\frac{1}{2}}

Dieser wiederum wird ab

x < 3140

negativ und somit erst einmal unlösbar.
Dennoch wird die Funktion im gesamten Bereich geplottet, siehe Bild.

Hierfür muss der Wurzel-Term ja gelöst werden, was wohl nur durch komplexe Rechnung geht?
Ich habe auch diesen Term plotten lassen, siehe zweites Bild.

Nun sieht man jedoch, dass die Lösung stetig steigt, während die Wurzel einen ganz anderen Verlauf aufweist. Das verstehe ich nicht.

Ich benötige

y

für Werte

x = 0

bis

x = 6000

. Dies schaffe ich derzeit nicht, da eben bei

x < 3140

ein Fehler auftritt, siehe drittes Bild.

Hat jemand eine Idee, wie ich das hinbekomme, oder wo mein Denkfehler ist?

ledum aktiv_icon

20:05 Uhr, 18.10.2017

Hallo
da die Umkehrfunktion ja die an der Winkelhalbierenden gespiegelt ist, muss sie so wie geplottet monoton steigend sein für den Bereich

x > 2

es ist leicht die Funktion als Kurve aufzufassen und sie als solche zu spiegeln, aber dann hast du sie in der Form

(x (t), y (t))

wenn dir das hilft?
wie Wolfram zu der eigenartigen Umkehrfunktion kommt wiss ich nicht, Versuchs noch mal mit

8 y

statt

y,

das ist ja fast genauso gut?
wozu brauchst du die Umkehrfkt denn? Als Tabelle ist sie ja einfach zu haben.
die Umkehrfunktion die da steht beschreibt vielleicht einen anderen Teil deine Funktion, die dritten Wurzeln sind negativ
vielleicht kann man Wolfram sagen für

x > 2

?

Gruß ledum

Y-1301 aktiv_icon

20:32 Uhr, 18.10.2017

Es geht um die Auslegung eines Doppel-T-Trägers.
Dieser darf nur so hoch sein, dass er der Belastung an der jeweiligen Position gerade standhält.

Die folgende Funktion gibt das Flächenmoment 2. Ordnung in Abhängigkeit der Trägerhöhe zurück.
x=Trägerhöhe y(x)=Flächenmoment in Abhängigkeit der Höhe

x

y = (\frac{1}{8}) \cdot x^{3} + (\frac{51}{8}) \cdot x^{2} - (\frac{153}{8}) \cdot x + (\frac{153}{8})

Es ist jedoch so, dass ich das benötigte Flächenmoment aus den Belastungen bereits ermittelt habe. Daher brauche ich nun eine Funktion, die mir die Trägerhöhe in Abhägigkeit des benötigten Flächenmoments ausgibt.

- \to

Umkehrfunktion

Bei dieser soll also gelten:
x=Flächenmoment y(x)=Höhe in Abhängigkeit des Flächenmoments.

Diese Umkehrfunktion von WolframAlpha funktioniert jedoch nur bis das Flächenmoment

x

kleiner als die

3140

wird, obwohl er sie komplett plottet.

Die Funktion brauche ich, da ich diese später im CAD-Programm eingeben muss. Dieses erzeugt mir dann automatisch meinen perfekten Träger. Daher reicht eine Wertetabelle nicht aus.

Wie man den Definitionsbereich bei WolframAlpha einschränkt, habe ich leider immer noch nicht herausgefunden.

"es ist leicht die Funktion als Kurve aufzufassen und sie als solche zu spiegeln, aber dann hast du sie in der Form

(x (t), y (t)) (x (t), y (t))

wenn dir das hilft?"

Wie würde man das am besten angehen?

Ich hoffe, ich habe nicht zu viel Verwirrung hervorgerufen :-)

anonymous

22:34 Uhr, 18.10.2017

Hallo
Wenn ich Doppel-T-Träger höre, ahne ich, dass es sich um eine ingenieursmäßige Aufgabe handelt. Ingenieursmäßig heißt, es dürfte dir nicht um höchste Präzision oder mathematische Exaktheit gehen, sondern um eine pragmatische Näherung.
(Du musst dann vermutlich eh den nächstbesten Norm-T-Träger aus dem Katalog auswählen.)

Also, Vorschlag für eine gute Näherung:

x_{1} = 2 \cdot y^{\frac{1}{3}} - 3

Sollte das dir nicht genau genug sein, na dann eben eine Präzisierung nach Newton-Verfahren:

a)

Kontrollrechnung, wie groß dein "y" an dieser Stelle

x_{1}

tatsächlich ist:

y_{1} = f (x_{1})

b)

Steigung an dieser Näherungsstelle:

\frac{d y}{d x} = f' (x_{1}) = \frac{(3 \cdot x_{1} + 102) \cdot x_{1} - 153}{8}

c)

Besserer Näherungswert:

x_{2} = x_{1} - \frac{y_{1} - y}{f' (x_{1})}

Die Abweichung ist nirgends größer als

1.24

mm.
Wenn dir das nicht genau genug ist, was spricht gegen einen zweiten Präzisierungsschritt?

x_{3} = x_{2} - \frac{y_{2} - y}{f' (x_{2})}

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