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Umkehrfunktion biquadratische Gleichung

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Biquadratische Gleichung, pq Formel, Umkehrfunktion

sandra13

12:44 Uhr, 03.01.2009

Wie errechnet man genau die Umkehrfunktion von:

y = x^{4} - x^{2} + \frac{1}{4}

Mein Problem ist, dass wenn ich die pq-Formel auf

x^{2}

anwende, ich nicht weiß, wann+/- bleibt, also eine "doppelte Umkehrfunktion" entsteht oder nur

+

oder oder...? Bitte helft mir, am besten wäre ein kompletter Lösungsweg, weil ich glaube ich immer noch systematische Fehler mache bei diesem Aufgabentyp. Dankeschön!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Vorwissen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Umkehrfunktion

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MBler07 aktiv_icon

14:59 Uhr, 03.01.2009

Hi

Da man so gut wie nie das beste kriegt, schreib ich auch keinen kompletten Rechenweg auf :-)

Substituiere

x^{2} = z

\Rightarrow 0 = z^{2} - z + \frac{1}{4}

Diese Gleichung kannst du dann ganz normal mit der pq-Formel lösen und erhälst die beiden Ergebnisse

z_{1} = . .

. und

z_{2} = . .

.

Das muss wieder ücksubstituiert werden:

x^{2} = z \to x = \pm \sqrt{z}

Und damit bekommst du dann die 4 Lösungen:

x_{1} = {\sqrt{z}}_{1}

x_{2} = {\sqrt{z}}_{2}

x_{3} = - {\sqrt{z}}_{1}

x_{4} = - {\sqrt{z}}_{2}

Soveil mal zur Lösung von biquadratischen Gleichungen.
Danach die Probe nicht vergessen.

Die Umkehrfunktion würde ich hier aber eher durch quadratische Ergänzung bestimmen, also eine Erweiterung auf die 2. Binomische Formel.
Dann hast du da was in der Form

y = {(x^{2} - ...)}^{2} + ...

. stehen, was sich recht einfach umstellen lässt. Dabei immer beachten das beim Wurzelziehen

\pm

entsteht.

Grüße

sandra13

18:00 Uhr, 03.01.2009

Danke! Aber damit die Funktion injektiv ist, muss ich sie doch zuerst mal auf einem Intervall definieren, oder? Da ist schon mal das 1. Problem: auf

R^{+}

oder

R^{-}

? Ist ja dann in beiden Fällen injktiv, kann man sich das dann aussuchen?
Und wenn ich nur auf

R^{+}

beispielsweise definiere, muss man dann bei pq-formel (bei der rücksubstitution) nur die positiven ergebnisse holen? Denn der alte Wertebereich

(R^{+})

wird doch zum neuen Def.bereich und dann nimmt man doch nur die positive Variante? Oder? Bei den wurzelgleichungen sieht ds zumindest so aus. Falls das nicht stimm, wie sieht dann eine Umkehrfunktion mit mehreren Lösungen aus? Hat die verschiedene Äste im Graphen ?

MBler07 aktiv_icon

23:36 Uhr, 03.01.2009

Was willst du denn dauernd mit der pq-Formel?! Ich steh im Moment vermutlich etwas auf dem Schlauch, aber wie bestimmst du über die pq-Formel eine Umkehrfunktion? bzw wobei sollen dir die Ergebnisse helfen?

Wie kommst du darauf, dass sie auf

R^{+}

bzw

R^{-}

injektiv ist?
Aber du hast recht. Du musst erstmal Intervalle bestimmen, auf denen sie eineindeutig ist.
Dann kannst du dir raussuchen, welches du nimmst und die Umkehrfunktion in diesem bestimmen.
Wenn du über die quadratische Ergänzung gehst und diese erstaml völlig unabhängig von den Intervallen umkehrst (und beim Wurzelziehen entsprechend

\pm

lässt), kannst du ablesen wie die Vorzeichen gesetzt werden müssen, sodass die Funktionen zu den Intervallen passen.

Schonmal als Tipp:
Es gibt vier Intervalle. Jeweils zwischen den äußeren Minimas (hier die Nullstellen) und unendlich und zwischen diesen und dem Maximum (hier Schnittpunkt mit der y-Achse)

Und natürlich solltest du eine grobe Skizze machen.

Was meinst du mit "Wurzelgleichungen"? Die Umkehrfunktion von

y = x^{2}

sandra13

12:20 Uhr, 04.01.2009

Also das mit der pq-Formel habe ich von einer Antwort, als ich hier schonmal eine ähnliche Frage gestellt habe. Und bei oberprima.com wird die Umkehrfunktion auch so berechnet.
Man setzt in diesem Fall einfach

x^{2} = (- \frac{p}{2}) \pm \sqrt{\frac{p^{2}}{4} - q}

Bei der Wurzelfunktion (sie hieß

y = \sqrt{x} + 4 x + 7)

wurde dann eben

\sqrt{x} =

pq-Formel

Voraussetzung zur Anwendung der pq-Formel war, dass das eine das quadrat des andern ist, also 3 Möglichkeiten:

1. die normale quadratische Gleichung
2. Wurzelgleichung: ax

+ b \sqrt{x} + c

3. biquadratische Gleichung: ax^4

+

bx^2

+ c

Und bei der Wurzelfunktion war es halt so, dass man in der pq-Formel nur das

+

der pq-Formel (nicht mehr

\pm)

beibehalten, weil

\sqrt{x}

in der Ausgangsfunktion nur positive Werte annehmen konnte. Ich weiß aber nicht, ob das für biquadratische ebenso geht. Finde irgendwie die pq-Formel halt einfacher, weil sie immer gleich ist und bei quadratischer Ergänzung weiß ich einfach nie so genau, wie ich das richtig machen soll:(

Ich dachte die biquadratische Gleichung wäre eineindeutig, wenn nicht zwei Zahlen zum selben Ergebnis führen.

Z . b

. beim Quadrat Zahl und Gegenzahl. Deshalb beschränke ich die Def. menge auf nur positive oder nur negative.

Und schlielich eine letzte Frage; Wie kann ich mit quadratischer Egänzung folgende Aufgabe angehen?

\sqrt[4]{5 x} + 4 x + 7 = y

Da finde ich die 4. Wurzel so verwirrend. Vielen Dank für die ganze mühe!

MBler07 aktiv_icon

20:17 Uhr, 04.01.2009

Jeder wie er mag. Ich finde quadratische Ergänzung einfacher. Danke für die Erklärung.
Hast du die Aufgabe jetzt gelöst?
"Ich dachte die biquadratische Gleichung wäre eineindeutig, wenn nicht zwei Zahlen zum selben Ergebnis führen. "
Das ist soweit richtig. Nur trifft das hier eben nicht zu.

Zu der neuen Aufgabe hab ich auch keine Idee. Quadratische Ergänzung dürfte nicht funktionieren, da es keine Quadrate gibt.

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