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Umkehrfunktion in bestimmten Intervall

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Tags: Funktion, Umkehrfunktion, Umkehrfunktion bilden

 
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Sommerlinde

Sommerlinde aktiv_icon

16:29 Uhr, 28.06.2021

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Hallo ihr Lieben,
ich hätte eine Frage, was Umkehrfunktionen betrifft. Für eine Grenzwertbestimmung benötige ich die Umkehrfunktion meiner Ausgangsfunktion. Grundsätzlich kein Problem. Leider scheitere ich aber bei der speziellen Funktion an der Umsetzung und erhoffe mir hier von euch gute Tipps oder Ähnliches.
Die Funktion lautet wie folgt:

y=4+0,25(x+4)2-2x+5

Die Voraussetzung für eine Umkehrfunktion, dass eine stetige strenge Monotonie vorliegen muss, ist hierbei im gegebenen Intervall von ]-5;6[ gegeben. Folglich kann eine Umkehrfunktion gebildet werden und genau hier komme ich nun nicht weiter.
Erste Versuche beim Umformen haben mich zu folgendem Term geführt:

5y-38=x(0,25x2+3,25x+18-y)

Leider komme ich hier nun absolut auf keinen grünen Zweig mehr. Vielleicht war mein Lösungsansatz auch einfach völlig in die falsche Richtung gedacht…
Ich glaube, der Knackpunkt liegt darin, dass die Funktion nur im gegebenen Intervall eine Umkehrfunktion besitzt, weiß aber leider nicht, wie ich das bei den Umformungen berücksichtigen soll.
Ich hoffe, hierbei kann mir jemand weiter helfen, weil ich ansonsten echt verzweifel….

Liebe Grüße und danke im Voraus
Eure Sommerlinde




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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N8eule

N8eule

16:41 Uhr, 28.06.2021

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Hallo
Multiplikation mit (x+5) zeigt dir, dass du prinzipiell eine PolynomFunktion 3.ten Grades hast.
Und dafür
> gibt es Schüler-haft keine Umkehrfunktion,
> bzw. schon sehr studienlastig die Cardano-Funktion: de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
> und weil das den Meisten schon zu sehr verklausuliert ist, eben typischerweise nur numerische Näherungsverfahren...




PS:
Vermutlich meinst du den Grenzwert beim Pol x=-5 (Nullstelle des Nenners).
Na ja, dort geht die Funktion gegen -Unendlich.
Ich vermute, dort wirst du aber eher zum Ziel kommen, wenn du das asymtotische Grenz-Verhalten dieses Bruch-Teilterms studierst...

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supporter

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17:07 Uhr, 28.06.2021

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Ziemlich heftig!

www.wolframalpha.com/input/?i=invert+4%2B0.25%28x%2B4%29%5E2-2%2F%28x%2B5%29
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:10 Uhr, 30.06.2021

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> Für eine Grenzwertbestimmung benötige ich die Umkehrfunktion meiner Ausgangsfunktion.

Ok, das ist vielleicht deine Ansicht, dass du dafür diese Umkehrfunktion brauchst, aber vielleicht geht es ja auch ohne: Um welchen Grenzwert geht es denn?
Sommerlinde

Sommerlinde aktiv_icon

13:01 Uhr, 01.07.2021

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Es handelt sich um diesen Grenzwert:


Unbenannt
Sommerlinde

Sommerlinde aktiv_icon

13:02 Uhr, 01.07.2021

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Wichtig wäre vielleicht noch zu wissen, dass die Gerade g(x) mit einer Steigung α ∈ R{0} die Funktion f in der Stelle x0=5 schneidet.
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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:24 Uhr, 01.07.2021

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Hallo,

ja, das ist wichtig zu wissen, zumindest
f(x0)=g(x0)=y0 ist sehr nüztlich.
Du suchst also

limyy0g-1(y)-g-1(y0)f-1(y)-f-1(y0).

Diesen Bruch erweitere doch mal mit 1y-y0.

Vielleicht erkennst du dann irgendwelche "bekannten Versatzstücke" ?

Gruß ermanus
Antwort
N8eule

N8eule

14:00 Uhr, 01.07.2021

Antworten
...und nur um sicher zu gehen, ob du wirklich
x0=5
oder doch das spannendere
x0=-5
meinst.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

14:25 Uhr, 01.07.2021

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x0=-5 gibt doch gar keinen Sinn, wenn sich in x0 der Graph von
f und g schneiden sollen. Das ginge ja nur, wenn f(-5)
endlich wäre.
Antwort
ermanus

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17:53 Uhr, 01.07.2021

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Hallo,
zum Vergleichen:
ich habe für den Limes 4,52a raus.
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:30 Uhr, 02.07.2021

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Hallo sommerlinde,
bist du von den Unwettern entwurzelt worden?
Keine Kommunikation mehr?
Nun denn, lass uns dennoch weiter voran gehen:
wenn wir den gestrigen Bruch von 13:24 Uhr so erweitern,
wie von mir vorgeschlagen, bekommen wir den Doppelbruch

g-1(y)-g-1(y0)y-y0f-1(y)-f-1(y0)y-y0.

Der Limes des Zählers ist offenbar (g-1)ʹ(y0), analog der Limes
des Nenners (f-1)ʹ(y0).
Wenn also diese beiden Limiten existieren, ist ihr Quotient gleich dem
zu bestimmenden Limes, also

=(g-1)ʹ(y0)(f-1)ʹ(y0).

Nun wende man den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion an
und man erhält

lim...=fʹ(x0)gʹ(x0).

Das wärs ...

Gruß ermanus

Frage beantwortet
Sommerlinde

Sommerlinde aktiv_icon

16:04 Uhr, 02.07.2021

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Vielen Dank für die Hilfe, den gleichen Limes hab ich auch raus bekommen, hab nur nicht dran gedacht zu antworten, weil ich noch eine Abgabe machen musste. Vielen Dank!
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:59 Uhr, 02.07.2021

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Hallo Sommerlinde,
das freut mich, dass du das hinbekommen hast.
Gruß ermanus